Inneres, Abschluss, Rand... < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:31 So 06.11.2011 | | Autor: | kalifat |
| Aufgabe | Ich gehe gerade ein Kapitel topologisches Kapitel durch und würde gerne
[mm] \overline{A}, \partial{A}, [/mm] A°, [mm] \overline{B}, \partial{B}, [/mm] B°, [mm] A\cap{B},...
[/mm]
der folgenden Mengen bestimmen
[mm] A=\{(x,y): |x|\le{1},y<2\} [/mm] und [mm] B=\{(x,y):x,y \in\mathbb{Q}, (x-1)^2+y^2<1\} [/mm] |
Ich habe mir beide Mengen aufgezeichnet, und beginne mal mit B. B ist ja ein Kreis mir Radius <1 und Mittelpunkt (-1,0)
[mm] \partial{B}=\{(x,y):x,y \in\mathbb{Q}, (x-1)^2+y^2=1\}
[/mm]
[mm] \overline{B}=\{(x,y):x,y \in\mathbb{Q}, (x-1)^2+y^2\ge{1}\}
[/mm]
[mm] B°=\{(x,y):x,y \in\mathbb{Q}, (x-1)^2+y^2\le{1}\}
[/mm]
Stimmt das soweit einmal?
Bei A bin ich mir etwas unsicher, trotz der Zeichnung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:39 So 06.11.2011 | | Autor: | donquijote |
> Ich gehe gerade ein Kapitel topologisches Kapitel durch und
> würde gerne
>
> [mm]\overline{A}, \partial{A},[/mm] A°, [mm]\overline{B}, \partial{B},[/mm]
> B°, [mm]A\cap{B},...[/mm]
>
> der folgenden Mengen bestimmen
>
> [mm]A=\{(x,y): |x|\le{1},y<2\}[/mm] und [mm]B=\{(x,y):x,y \in\mathbb{Q}, (x-1)^2+y^2<1\}[/mm]
>
> Ich habe mir beide Mengen aufgezeichnet, und beginne mal
> mit B. B ist ja ein Kreis mir Radius <1 und Mittelpunkt
> (-1,0)
>
> [mm]\partial{B}=\{(x,y):x,y \in\mathbb{Q}, (x-1)^2+y^2=1\}[/mm]
>
> [mm]\overline{B}=\{(x,y):x,y \in\mathbb{Q}, (x-1)^2+y^2\ge{1}\}[/mm]
>
> [mm]B°=\{(x,y):x,y \in\mathbb{Q}, (x-1)^2+y^2\le{1}\}[/mm]
>
> Stimmt das soweit einmal?
>
> Bei A bin ich mir etwas unsicher, trotz der Zeichnung.
Die Angabe (x,y):x,y [mm] \in\mathbb{Q} [/mm] lässt mich vermuten, dass hier B als Teilmenge von [mm] \IR^2 [/mm] zu betrachten ist.
In diesem Fall wäre die Sache etwas komplizierter, dann würde der Rand aus der gesamten Kreisscheibe bestehen (da zu jedem Punkt in jeder Umgebung sowohl Punkte mit rationalen als auch mit irrationalen Koordinaten liegen).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:49 So 06.11.2011 | | Autor: | kalifat |
Da wir uns bereits mit mehrdimensionalen Räumen beschäftigen wird das wahrscheinlich zutreffen. Wie würdest du das dann bei B formalisieren? Worin liegen dann die genauen Unterschiede zu dem was ich im 1.Post geschrieben habe?
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> Ich gehe gerade ein Kapitel topologisches Kapitel durch und
> würde gerne
>
> [mm]\overline{A}, \partial{A},[/mm] A°, [mm]\overline{B}, \partial{B},[/mm]
> B°, [mm]A\cap{B},...[/mm]
>
> der folgenden Mengen bestimmen
>
> [mm]A=\{(x,y): |x|\le{1},y<2\}[/mm] und [mm]B=\{(x,y):x,y \in\mathbb{Q}, (x-1)^2+y^2<1\}[/mm]
>
> Ich habe mir beide Mengen aufgezeichnet, und beginne mal
> mit B. B ist ja ein Kreis mir Radius <1 und Mittelpunkt
> (-1,0)
Ich gehe also mal davon aus, dass B als Teilmenge von [mm] \IR^2 [/mm] betrachtet wird.
>
> [mm]\partial{B}=\{(x,y):x,y \in\mathbb{Q}, (x-1)^2+y^2=1\}[/mm]
Der Rand ist die gesamte Kreisscheibe, da auch bei jedem Punkt im Inneren in jeder Umgebung sowohl Punkte liegen, die zu B gehören, als auch solche die nicht zu B gehören (das wären die aus [mm] \IR^2\setminus\IQ^2)
[/mm]
>
> [mm]\overline{B}=\{(x,y):x,y \in\mathbb{Q}, (x-1)^2+y^2\ge{1}\}[/mm]
Hier ist wohl nicht das Komplement, sondern der topologische Abschluss gemeint.
Damit ist auch [mm] \overline{B} [/mm] die gesamte Kreisscheibe.
>
> [mm]B°=\{(x,y):x,y \in\mathbb{Q}, (x-1)^2+y^2\le{1}\}[/mm]
ist hier leer, da alle Punkte zum Rand gehören
>
> Stimmt das soweit einmal?
>
> Bei A bin ich mir etwas unsicher, trotz der Zeichnung.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 So 06.11.2011 | | Autor: | kalifat |
Danke für deine Antwort. Ich werde jedoch sicherheitshalber noch einmal nachfragen ob es sich wirklich um eine eine Teilmenge aus [mm] R^2 [/mm] handelt oder nicht.
Kann es sein das du am Ende deine Posts B°={} gemeint hast und nicht B={} ?
Abgesehen von B, wie würdest du bei A vorgehen?
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> Danke für deine Antwort. Ich werde jedoch
> sicherheitshalber noch einmal nachfragen ob es sich
> wirklich um eine eine Teilmenge aus [mm]R^2[/mm] handelt oder nicht.
>
> Kann es sein das du am Ende deine Posts B°={} gemeint hast
> und nicht B={} ?
Ja, leer ist natürlich nur das Innere.
>
> Abgesehen von B, wie würdest du bei A vorgehen?
Da hilft eine Zeichnung in jedem Fall. Dort sind Rand, Abschluss und Inneres jeweils das, was du dann anschailich sehen kannst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 So 06.11.2011 | | Autor: | kalifat |
Nur um sicher zu gehen, wäre der Rand von A gleich A oder
[mm] A=\{(x,y): |x|\le{2},y\le{2}\}
[/mm]
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> Nur um sicher zu gehen, wäre der Rand von A gleich A oder
>
> [mm]A=\{(x,y): |x|\le{2},y\le{2}\}[/mm]
Nein. A ist ein nach unten unbegrenztes "Rechteck".
Der Rand besteht aus den Seiten:
[mm] \{(x,y): |x|\le 1\ und\ y=2\}\cup\{(x,y): |x|=1\ und\ y\le 2\}
[/mm]
Am besten siehst du das mit einer Zeichnung
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