Innenwinkel eines Dreiecks < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Innenwinkel es Dreiecks!
A (0/0/0), B (1/3/-2), C (4/2/1) |
Ich habe die Winkel nach [mm] cos(\alpha(\vec{u};\vec{v)})=\bruch{\vec{u}\*\vec{v}}{|\vec{u}|*|\vec{v}|} [/mm] bestimmt.
Allerdings komme ich auf eine Winkelsumme von etwa 222,88°.
[mm] \vec{AB}=\vec{b}-\vec{a}=\vektor{1 \\ 3 \\ -2}
[/mm]
[mm] |\vec{AB}|=\wurzel{13}
[/mm]
[mm] \vec{AC}=\vec{c}-\vec{a}=\vektor{4 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
[mm] |\vec{AC}|=\wurzel{21}
[/mm]
[mm] \vec{BC}=\vec{c}-\vec{b}=\vektor{3 \\ -1 \\ 3}
[/mm]
[mm] |\vec{BC}|=\wurzel{19}
[/mm]
[mm] \alpha=arccos(\bruch{1*4+3*2-2*1}{\wurzel{13}*\wurzel{21}})=arccos(\bruch{8}{\wurzel{273}})\approx61,04°
[/mm]
Analog ergibt sich:
[mm] \beta\approx112,44°
[/mm]
[mm] \gamma\approx49,4°
[/mm]
Die Summe ist viel zu groß. Irgendwas muss falsch sein. Ich habe das allerdings schon mehrfach durchgerechnet. Ein Rechenfehler scheint es nicht zu sein. Berechnet man die Innenwinkel dann etwa anders?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:55 Di 02.09.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Schon [mm] |\overrightarrow{AB}| [/mm] ist schon falsch!
Du hast dich beim Aufsummieren der Quadratzahlen vertan.
Lg
Ps: ich warte ja dauernd darauf, dass du dich beschwerst, dass das letztendlich nur ~1° ausmacht :D
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Statt 13 sind es 14. Und diesen Fehler habe ich zweimal gemacht. Ich hätte den Taschenrechner benutzen sollen.
Aber dennoch ergibt die für die Winkelsumme etwas zu großes.
[mm] \alpha\approx62,19°
[/mm]
[mm] \beta\approx111,58°
[/mm]
Wenn ich allerdings für beta nicht den errechneten Wert, sondern den anderen Schnittwinkel nehme (180°-beta) sind es 180°.
Aber wie kann ich wissen, welchen Winkel ich nehmen muss? Immerhin kann ein Dreieck auch einen Winkel größer als 90° haben.
Muss man da rumprobieren, bis es 180° sind, oder gibt es da einen Trick?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:18 Mi 03.09.2008 | | Autor: | weduwe |
du mußt die vektoren so wählen, dass sie von scheitel des winkels WEG zeigen, daher
[mm] cos\alpha =\frac{\vektor{1\\3\\-2}\cdot\vektor{4\\2\\1}}{\sqrt{14\cdot 21}}\to \alpha=62.1882°
[/mm]
[mm] cos\beta =\frac{\vektor{-1\\-3\\2}\cdot\vektor{3\\-1\\3}}{\sqrt{14\cdot 19}}\to \beta=68.4148°
[/mm]
[mm] cos\gamma =\frac{\vektor{-4\\-2\\-1}\cdot\vektor{-3\\1\\-3}}{\sqrt{19\cdot 21}}\to \gamma=49.3970°
[/mm]
[mm] \alpha+\beta +\gamma [/mm] =180.0000°
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