Inklusionen von Abbildungen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Sei f:X [mm] \to [/mm] Y eine Abbildung. Zeigen Sie,dass für Teilmengen A [mm] \subset [/mm] X und B [mm] \subset [/mm] Y die folgenden Inklusionen gelten:
[mm] f(f^{-1}(B)) \subset [/mm] B, A [mm] \subset f^{-1}(f(A)) [/mm] |
| Aufgabe 2 | | Unter welchen Bedingungen an die Funktion f gilt in Aufgabe 1 jeweils die Gleichheit für alle Mengen B [mm] \subset [/mm] Y bzw. A [mm] \subset [/mm] X? (Mit Beweis) |
| Aufgabe 3 | | Geben Sie jeweils ein Beispiel an,bei denen die Inklusionen aus Aufgabe 1 echte Inklusionen sind. |
Meine erste Frage lautet: Was ist mit Inklusionen gemeint? Die Teilmengenzeichen vielleicht?
Meine zweite Frage lautet,ob mir jemand einen Tipp geben kann wie ich am besten damit anfange.
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> Sei f:X [mm]\to[/mm] Y eine Abbildung. Zeigen Sie,dass für
> Teilmengen A [mm]\subset[/mm] X und B [mm]\subset[/mm] Y die folgenden
> Inklusionen gelten:
> [mm]f(f^{-1}(B)) \subset[/mm] B, A [mm]\subset f^{-1}(f(A))[/mm]
> Unter
> welchen Bedingungen an die Funktion f gilt in Aufgabe 1
> jeweils die Gleichheit für alle Mengen B [mm]\subset[/mm] Y bzw. A
> [mm]\subset[/mm] X? (Mit Beweis)
> Geben Sie jeweils ein Beispiel an,bei denen die
> Inklusionen aus Aufgabe 1 echte Inklusionen sind.
> Meine erste Frage lautet: Was ist mit Inklusionen gemeint?
> Die Teilmengenzeichen vielleicht?
> Meine zweite Frage lautet,ob mir jemand einen Tipp geben
> kann wie ich am besten damit anfange.
Hallo,
ja, Inklusionen sind Teilemengenbeziehungen.
Wenn Du zeigen willst, daß eine menge Teilmenge einer anderen ist, mußt Du zeigen, daß jedes Element der einen auch in der anderen liegt.
Zu Aufgabe 1)
Behauptung: [mm] f(f^{-1}(B)) \subset[/mm] [/mm] B
Hierfür ist zu zeigen, daß [mm] y\in f(f^{-1}(B)) [/mm] ==> [mm] y\in [/mm] B richtig ist.
Beweis:
Sei [mm] y\in f(f^{-1}(B)) [/mm]
==>
es gibt ein [mm] x\in f^{-1}(B) [/mm] mit y= f(x) nach def. des Bildes einer Menge
==> es gibt ein [mm] b\in [/mm] B mit ... und nun mach weiter
Bei Aufgabe 2 wird man über injektivität und Surjektivität nachdenken müssen,
Aufgabe 3: mit echte Inklusion ist gemeint, daß die Mengen rechts und links nicht gleich sein sollen.
gruß v. Angela
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Dankeschön schonmal!
Also bei Aufgabe 1 habe ich schonmal die erste Teilaufgabe lösen können und bei Aufgabe 2 gilt die Gleichheit,wenn f surjektiv ist.
Ich habe aber noch Probleme beim Lösen der zweiten Teilaufgabe aus Aufgabe 1. Denn ich muss ja so anfangen: Sei x [mm] \in [/mm] A .... und dann zum Schluss auf x [mm] \in f^{-1}(f(A)) [/mm] kommen oder? Aber wie mache ich das wenn ich zu Beginn nur x [mm] \in [/mm] A habe?
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> Ich habe aber noch Probleme beim Lösen der zweiten
> Teilaufgabe aus Aufgabe 1. Denn ich muss ja so anfangen:
> Sei x [mm]\in[/mm] A .... und dann zum Schluss auf x [mm]\in f^{-1}(f(A))[/mm]
> kommen oder?
Hallo,
ja.
> Aber wie mache ich das wenn ich zu Beginn nur
> x [mm]\in[/mm] A habe?
Der Anfang ist so leicht, daß man fast nicht drauf kommt:
x [mm] \in [/mm] A ==> [mm] f(x)\in [/mm] f(A) ==> ... und jetzt weiter.
Gruß v. Angela
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Dankeschön...die Aufgabe 1 war ja echt nicht so schwer wie ich dachte. Aber bei der 2 und 3 habe ich noch meine Probleme. Für die 2 habe ich schon eine Idee...bei der ersten Teilaufgabe muss f surjektiv sein und bei der zweiten muss f injektiv sein,aber wie schreibe ich dies als Beweis auf?
Und bei der 3 weiß ich nicht wie ich da ein Beispiel finden soll,denn ich weiß ja nicht so viel über die Funktion f und somit auch nicht über [mm] f^{-1}
[/mm]
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> Aber bei der 2 und 3 habe ich noch meine
> Probleme. Für die 2 habe ich schon eine Idee...bei der
> ersten Teilaufgabe muss f surjektiv sein und bei der
> zweiten muss f injektiv sein,aber wie schreibe ich dies als
> Beweis auf?
Hallo,
das A und O ist es, daß man schön aufschreibt, was man voraussetzt, und was man zeigen möchte.
Du behauptest also:
f surjektiv ==> [mm] f(f^{-1}(B [/mm] ))= B für alle [mm] B\subseteq [/mm] Y
Voraussetzung: f injektiv
zu zeigen: dann ist [mm] f(f^{-1}(B [/mm] ))= B , dh.
1. [mm] f(f^{-1}(B [/mm] ))subseteq B
und
2. B [mm] \subseteq f(f^{-1}(B [/mm] )) , also
1. [mm] y\in f(f^{-1}(B [/mm] ))==> [mm] y\in [/mm] B
und
2. [mm] y\in [/mm] B ==> [mm] y\in f(f^{-1}(B [/mm] ))
Beweis:
1. wurde bereits gezeigt in Aufgabe (1). Die Aussage gilt unabhängig von der Injektivität.
Zu 2.
sei [mm] y\in [/mm] B.
Weil nach Voraussetzung f surjektiv, gibt es ein [mm] x\in [/mm] X mit y=f(x)
==> und jetzt weiter.
> Und bei der 3 weiß ich nicht wie ich da ein Beispiel
> finden soll,denn ich weiß ja nicht so viel über die
> Funktion f und somit auch nicht über [mm]f^{-1}[/mm]
Hier jkannst du Aufgabe 2) zur Hilfe nehmen. Aufgabe 2) sagt ja, unter welchen Umständen Gleichheit gilt.
Und nun bstelst Du eine Funktion, die natürlich diese Eigenschaft nicht hat und bastelst so lange, bis es paßt.
Du kannst das ganz konkret machen, Dir irgendwelche Mengen ausdenken. Die dürfen ruhig klein sein.
Gruß v. Angela
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