Inklusion transitiv < axiomatisch < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
Ich habe mich gerade Folgendes gefragt: Welche Axiome werden benötigt, um die Transitivität der Inklusion zu folgern? Aus [mm] $X\subseteq [/mm] Y$ und [mm] $Y\subseteq [/mm] Z$ folgt [mm] $X\subseteq [/mm] Z$. Oder gilt das ohne Axiome?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:40 Do 29.01.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo UO,
Um zu zeigen, dass die Mengeninklusion [mm] \subseteq [/mm] transitiv ist muss
man eigentlich nur wissen, wann eine Relation es ist. Mit der
Infixnotation kommt man dann sehr schnell zum Ziel.
Ich finde übrigens solche Überlegungen ganz cool, denn man muss
sich in gewisser Weise selbst Voraussetzungen schaffen und das
kann, so wie hier, lustig werden, denn ein Versuch eine Voraus-
setzung für den Begriff "Mengeninklusion" zu schaffen, der in
gewisser Weise den Begriff ersetzt, führt zur Unordnung. 
Ich lasse mal auf halb beantwortet, da ich mir nicht sicher bin
ob meine Antwort dem entspricht was du eigentlich suchst.
Gruß
DieAcht
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Hallo dieAcht,
ich bin mir nicht ganz sicher, ob Notation meine Frage klären kann. Wenn man Mengenlehre (oder Klassenlehre) betreibt, hat man die beiden Relationen $=$ und [mm] $\in$ [/mm] zur Verfügung. Mithilfe der zweiten kann man die abkürzende Schreibweise [mm] $X\subseteq [/mm] Y$ für [mm] $\forall x:x\in X\implies y\in [/mm] Y$ einführen.
Um dann zum Beispiel zu zeigen, dass [mm] $X\subseteq Y\land Y\subseteq X\implies [/mm] X=Y$, benötigt man so etwas wie das Extensionalitätsaxiom, während sich [mm] $X\subseteq Y\land Y\subseteq Z\implies X\subseteq [/mm] Z$ automatisch zu ergeben scheint.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:31 Do 29.01.2015 | | Autor: | DieAcht |
> ich bin mir nicht ganz sicher, ob Notation meine Frage
> klären kann. Wenn man Mengenlehre (oder Klassenlehre)
> betreibt, hat man die beiden Relationen [mm]=[/mm] und [mm]\in[/mm] zur
> Verfügung.
Okay.
> Mithilfe der zweiten kann man die abkürzende
> Schreibweise [mm]X\subseteq Y[/mm] für [mm]\forall x:x\in X\implies y\in Y[/mm]
Du meinst
[mm]X\subseteq Y[/mm] für [mm]\forall x:x\in X\implies x\in Y[/mm].
> einführen.
Das wird reichen.
> Um dann zum Beispiel zu zeigen, dass [mm]X\subseteq Y\land Y\subseteq X\implies X=Y[/mm],
Was ist mit der Rückrichtung?
> benötigt man so etwas wie das Extensionalitätsaxiom,
Liege ich mit meiner Vermutung richtig, dass man das Extensionalitäts-
axiom hier benötigt, damit [mm] $X=Y\$ [/mm] überhaupt "definiert" ist?
> während sich [mm]X\subseteq Y\land Y\subseteq Z\implies X\subseteq Z[/mm] automatisch zu ergeben scheint.
Also beim Ausformulieren erhalte ich folgende Voraussetzungen:
1) [mm] $X,Y,Z\$ [/mm] seien Mengen.
2) [mm] $\forall x:x\in X\implies x\in [/mm] Y$
3) [mm] $\forall y:y\in Y\implies y\in [/mm] Z$
Für den Beweis sei also [mm] $z\in [/mm] X$. Zu zeigen: [mm] $z\in [/mm] Z$.
Ich sehe eigentlich keinen Grund nicht nur mit den Voraussetzungen
zu arbeiten. Mehr wird meiner Meinung nach nicht benötigt. Demnach
kommen wir allein mit der Relation [mm] \in [/mm] aus und diese steht uns doch
zur Verfügung.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Sa 31.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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