Injektivität und Surjektivität < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei K ein Körper, V ein K- Vektorraum, U [mm] \subseteq [/mm] V ein linerare Unterraum und [mm] \IQ [/mm] (U) ein K-Vektorraum mit [mm] \IQ [/mm] (U):= {a+U : a [mm] \in [/mm] V)} mit den Eigenschaften:
(a+U) [mm] \oplus [/mm] (b+U):=(a+b)+U Für alle a, b [mm] \in [/mm] V und
[mm] \lambda \odot [/mm] (a+U) := [mm] (\lambda [/mm] a) +U
a) Zeigen Sie, dass die Abbildung f: V -> [mm] \IQ [/mm] (U), a->a+U linear ist.
b) Unter welchen Bedingungen ist f injektiv?Beweisen Sie ihre Behauptung!
c) Wann ist f surjektiv?Beweisen Sie ebenfalls! |
Die Aufgabe stand hier schonmal, allerdings nicht komplett vollständig.
Die a) hab ich soweit hinbekommen.
Bei der b) und der c) bin ich mir nicht ganz sicher, also bei b) bin ich jetzt soweit, dass f injektiv ist, wenn gilt:
[mm] \forall [/mm] a, b [mm] \in [/mm] V: f (a) = f(b) -> a=b
Wenn man die Definition einsetzt, folgt dann ja : a+U =b +U und das gilt, wenn a-b aus U ist...aber das ist ja irgendwie kein Beweis oder so...
Naja und bei der c) hab ich irgendwie das Gleiche raus... Also irgendwas mach ich wohl falsch und ich hoffe, dass mir irgendjemand sagen kann was:)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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b) hast du richtig gelöst, bist aber noch nicht fertig.
a-b muss aus U sein. Für alle a und b soll nun a=b herauskommen, nur dann ist die Abbildung injektiv. Das ist genau dann der Fall, wenn U nur das Null-Element enthält! Dann ist a-b=0 und somit a=b. In allen anderen Fällen ist die Abbildung nicht injektiv.
c) Da du zu jedem a+U ein a finden kannst, bei dem f(a)=a+U ist, ist die Abbildung immer surjektiv.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:58 Do 31.05.2007 | | Autor: | LaLuna1123 |
Danke:) Dann lag ich ja garnicht mal so falsch..
ist das dann damit auch schon bewiesen? Also müsste es ja eigentlich...
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