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| Aufgabe | Es seien A,B und C nicht-leere Mengen und f: A -> B ung g: B-> C zwei Abbildungen. Zeigen Sie:
1)Wenn g o f injektiv ist, dann ist auch f injektiv, aber g im Allgemeinen nicht.
2)Wenn g o f surjektiv ist, dann ist auch g surjektiv, f aber im Allgemeinen nicht. |
Hallo zusammen,
Ich hänge momentan an dieser Aufgabe fest, weil ich einfach nicht auf einen Ansatz kommen will.
Diese Aussagen sollte man, soweit ich das richtig verstehe, zunächst als Implikationen darstellen. Und somit immer den ersten Teil vorraussetzen und dann sagen, dass der zweite Teil automatisch stimmen muss.
Also hat man ja im Endeffekt 4 Aussagen zu beweisen.
Ideen zu 1)
Wenn g o f injektiv ist heißt das ja, dass gilt :
f(x1) [mm] \not= [/mm] f(x2) => g(f(x1)) [mm] \not= [/mm] g(f(x2))
oder negiert:
g(f(x1)) = g(f(x2)) => f(x1) = f(x2)
Das soll man also voraussetzen.
Wenn man zeigen will, dass f dann injektiv ist zunächst, dann muss man ja noch folgende Implikation zeigen:
x1 [mm] \not= [/mm] x2 => f(x1) [mm] \not= [/mm] f(x2)
(oder halt die entsprechende Negation.)
Ähnlichkeiten sieht man ja allein bei dem f(x1) = f(x2). Einmal allerdings [mm] \not= [/mm] und einmal =.
Ich stehe schon hier vollkommen auf dem Schlauch, da mir einfach kein ordentlicher Anfang einfallen will.
Idee zu 2)
Hier ist ja das selbe mit der Implikation.
Nur dass in diesem Fall ist:
g o f : A -> C surjektiv, also g o f(A) = C
und man soll zeigen dass f(B) = C.
Also dass das Bild unter der Abbildung gleich der Zielmenge ist..
Bin für jeglichen Anstoß und Hilfe sehr dankbar.
Liebe Grüße :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:42 So 01.11.2015 | | Autor: | statler |
> Es seien A,B und C nicht-leere Mengen und f: A -> B ung g:
> B-> C zwei Abbildungen. Zeigen Sie:
> 1)Wenn g o f injektiv ist, dann ist auch f injektiv, aber
> g im Allgemeinen nicht.
> 2)Wenn g o f surjektiv ist, dann ist auch g surjektiv, f
> aber im Allgemeinen nicht.
Hallo!
> Ideen zu 1)
> Wenn g o f injektiv ist heißt das ja, dass gilt :
>
> f(x1) [mm]\not=[/mm] f(x2) => g(f(x1)) [mm]\not=[/mm] g(f(x2))
> oder negiert:
> g(f(x1)) = g(f(x2)) => f(x1) = f(x2)
>
> Das soll man also voraussetzen.
Das verstehst du anscheinend falsch. Wenn g o f injektiv ist, heißt das:
g(f(x1)) = g(f(x2)) => x1 = x2,
und das ist deine Voraussetzung.
Nun willst du f untersuchen und nimmst an, daß f(x1) = f(x2) ist. Aber dann ist natürlich g(f(x1)) = g(f(x2)) und die Voraussetzung der obigen Implikation erfüllt, also auch die Folgerung der Implikation: x1 = x2.
> Idee zu 2)
> Hier ist ja das selbe mit der Implikation.
> Nur dass in diesem Fall ist:
> g o f : A -> C surjektiv, also g o f(A) = C
>
> und man soll zeigen dass f(B) = C.
Hier gibt es zu c [mm] \in [/mm] C ein a [mm] \in [/mm] A mit (g o f)(a) = c. Jetzt muß ein b [mm] \in [/mm] B her, und es drängt sich ein bißchen auf ...
Gruß aus HH
Dieter
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Zunächst einmal vielen lieben Dank für die Antwort!
Teil 1) hab ich nun komplett verstanden. Das war wohl einen ticken einfacher als gedacht.. Reicht es ein Gegenebeispiel zu bringen, um zu sagen, dass es für g im Allgemeinen nicht gilt?
Zum Teil 2.. dann müsste man ja sagen, dass man zeigen muss, dass zu jedem c [mm] \varepsilon [/mm] C ein b [mm] \varepsilon [/mm] B gibt wo gilt: f(b) = c.
In der Voraussetzung hab ich aber doch gar nichts mit B am Hut gehabt, ich frage mich ehrlicher Weise immer noch, wie man dann darauf kommt..
Habe noch nicht viele Beweise geführt..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:34 So 01.11.2015 | | Autor: | hippias |
> Zunächst einmal vielen lieben Dank für die Antwort!
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> Teil 1) hab ich nun komplett verstanden. Das war wohl einen
> ticken einfacher als gedacht.. Reicht es ein Gegenebeispiel
> zu bringen, um zu sagen, dass es für g im Allgemeinen
> nicht gilt?
Ja.
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> Zum Teil 2.. dann müsste man ja sagen, dass man zeigen
> muss, dass zu jedem c [mm]\varepsilon[/mm] C ein b [mm]\varepsilon[/mm] B
> gibt wo gilt: f(b) = c.
> In der Voraussetzung hab ich aber doch gar nichts mit B am
> Hut gehabt, ich frage mich ehrlicher Weise immer noch, wie
> man dann darauf kommt..
Werte ersteinmal die Voraussetzung aus: es gibt ein [mm] $\ldots$, [/mm] sodass [mm] $\ldots=c$. [/mm] Dann siehst Du bestimmt Dein $b$.
> Habe noch nicht viele Beweise geführt..
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