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| Aufgabe | Seien f: M --> N und g: N --> L Abbildungen. Zeigen Sie:
a)Sind f und g injektiv, so ist auch g [mm] \circ [/mm] f injektiv
b) Ist g [mm] \circ [/mm] f injektiv, so ist auch f injektiv
c) Sind f ung g surjektiv, so ist auch g [mm] \circ [/mm] f surjektiv
d) Ist g [mm] \circ [/mm] f surjektiv, so ist auch g surjektiv |
Also: Ich habe die Aufgaben anhand von Schaubildern gelöst.
Meine Frage ist wie ich dieses Beweisen kann, weil ich mir mit dem beweisen äußerst schwer tue.
Wäre nett, wenn ihr mir zu a)-d) die Anfänge für die Beweise, oder die kompletten Beweise sagen könntet.
Mit freundlichen Grüßen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Funkiller,
> Seien f: M --> N und g: N --> L Abbildungen. Zeigen Sie:
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> a)Sind f und g injektiv, so ist auch g [mm]\circ[/mm] f injektiv
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> b) Ist g [mm]\circ[/mm] f injektiv, so ist auch f injektiv
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> c) Sind f ung g surjektiv, so ist auch g [mm]\circ[/mm] f surjektiv
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> d) Ist g [mm]\circ[/mm] f surjektiv, so ist auch g surjektiv
> Also: Ich habe die Aufgaben anhand von Schaubildern
> gelöst.
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> Meine Frage ist wie ich dieses Beweisen kann, weil ich mir
> mit dem beweisen äußerst schwer tue.
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> Wäre nett, wenn ihr mir zu a)-d) die Anfänge für die
> Beweise, oder die kompletten Beweise sagen könntet.
Naja, vorrechnen tun wir hier nicht.
Es beginnt alles damit, dass du dir die Definitionen von "Injektivität" und "Surjektivität" auf die Platte bringen musst und blind abrufen können musst.
Inj./Surj. sind zentrale Konzepte.
Also kram die Definitionen raus, schreibe sie hier auf!
Ich sage nochwas zu a), dann musst du was tun!
Überlege dir zuerst, dass [mm]g\circ f[/mm] von [mm]M\to L[/mm] abbildet.
Ein möglicher Beweis könnte so beginnen:
Seien [mm]f:M\to N[/mm] und [mm]g:N\to L[/mm] injektiv.
Zu zeigen ist, dass [mm]g\circ f[/mm] injektiv ist, dass also für alle [mm]m_1,m_2\in M[/mm] mit [mm]g\circ f(m_1)=g\circ f(m_2)[/mm] folgt, dass [mm]m_1=m_2[/mm] ist.
Seien also [mm]m_1,m_2\in M[/mm] mit [mm]g\circ f(m_1)=g\circ f(m_2)[/mm]
Dann kommst du:
1) Benutze die Definition von [mm]\circ[/mm]
2) Nutze die Injektivität von g
3) Nutze die Injektovität von f
Am Ende sollte [mm]m_1=m_2[/mm] dastehen ...
Ansonsten bemühe mal die Forensuche, gerade zu Beginn des Semesters sind solche Aufgaben gern genommen und finden sich hier im Forum in der jüngsten Zeit ...
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> Mit freundlichen Grüßen
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>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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Ich habe genau die gleichen Aufgaben gestern gelöst. Zu b) und d) beachte man beim beweisen die Rechtseindeutigkeit bzw. Linkstotalität der Abbildungen. Der Rest ist bloßes Übersetzen in logische Sprache und Folgern. ;)
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Was bedeutet Rechtseindeutigkeit und Linkstotalität?
Wo hast du denn diese Aufgaben gelöst? Auch hier im Forum? Wenn ja bitte Link schicken.
Ansonsten danke, versuche mich jetzt weiter damit auseinander zu setzen.
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Hallo,
verwende doch mal die Definition der Injektivität
[mm] x\not=y \Rightarrow f(x)\not=f(y)
[/mm]
Im Falle von Teil a) könnte man das so machen:
[mm] x\not=y
[/mm]
[mm] \Rightarrow f(x)\not=f(y) [/mm] [da f injektiv ist]
[mm] \Rightarrow g(f(x))\not=g(f(y)) [/mm] [da g injektiv ist]
[mm] \Rightarrow [/mm] g [mm] \circ [/mm] f injektiv.
Probiere die anderen Aufgabenteile auf ähnliche Art und Weise.
Gruß, Diophant
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Ich meinte damit, dass ich vorgestern einen Übungszettel mit genau derselben Aufgabe bearbeitet habe.
Sei $f [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \times [/mm] B$
Linkstotalität: [mm] $\forall_{x \in A} \exists_{y \in B}: [/mm] (x,y) [mm] \in [/mm] A [mm] \times [/mm] B$
Rechtseindeutigkeit: [mm] $\forall_{x,y \in A}: [/mm] x=y [mm] \Rightarrow [/mm] f(x)=f(y)$
Wenn beides zusammen gilt, ist f eine Abbildung.
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