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| Aufgabe | Man beweise für eine Abbildung [mm] $f:X\to [/mm] Y$, dass gilt:
$f$ ist injektiv [mm] $\iff\forall A,B\in\mathfrak{P}(X):f(A\cap B)=f(A)\cap [/mm] f(B)$. |
Noch eine Frage zur Injektivität. Ich glaube, ich habe die Lösung, aber ich bin mir sehr unsicher, würde lieber noch einmal nachfragen. Verwendet habe ich Assoziativität und Distributivität von [mm] $\cap$ [/mm] und [mm] $\cup$, [/mm] sowie die allgemeine Verträglichkeit von [mm] $\cup$ [/mm] mit Bildern von Abbildungen:
[mm] "$\implies$": [/mm] Sei $f$ injektiv. Dann folgt für [mm] $x,y\in [/mm] X$ aus [mm] $x\not=y$ [/mm] stets, dass $f(x)=f(y)$. Ist also [mm] $x\not=y$, [/mm] so ist [mm] $f(\{x\}\cap\{y\})=\emptyset=f(\{x\})\cap f(\{y\})$, [/mm] wohingegen für $x=y$ trivialerweise [mm] $f(\{x\}\cap\{y\})=f(\{x\})\cap f(\{y\})$ [/mm] ist, sodass also mit Satz 3.8 folgt, dass
[mm] $f(A\cap [/mm] B)$
[mm] $=f(\bigcup_{a\in A}\{a\}\cap\bigcup_{b\in B}\{b\})$
[/mm]
[mm] $=\bigcup_{(a,b)\in A\times B}f(\{a\}\cap\{b\})$
[/mm]
[mm] $=\bigcup_{a,b\in A\times B}f(\{a\})\cap f(\{b\})$
[/mm]
[mm] $=\bigcup_{a\in A} f(\{a\})\cap\bigcup_{b\in B} f(\{b\})$
[/mm]
[mm] $=f(A)\cap [/mm] f(B)$.
[mm] "$\impliedby$":Gilt [/mm] hingegen sicher [mm] $f(A\cap B)=f(A)\cap [/mm] f(B)$, folgt für voneinander verschiedene [mm] $x,y\in [/mm] X$, dass [mm] $f(\{x\})\cap f(\{y\})=f(\{x\}\cap\{y\})=\emptyset$, [/mm] das heißt [mm] $f(x)\not=f(y)$, [/mm] womit $f$ als injektiv bewiesen ist.
Für das unmathematische Ausdrücken und den u.U. verwirrenden Aufschrieb entschuldige ich mich, ich habe das so kopiert wie ich es mir aufgeschrieben hab, damit ich es verstehe. Ich hoffe, dass sich trotzdem jemand damit beschäftigt.
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:07 Do 20.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Man beweise für eine Abbildung [mm]f:X\to Y[/mm], dass gilt:
> [mm]f[/mm] ist injektiv [mm]\iff\forall A,B\in\mathfrak{P}(X):f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)[/mm].
>
> Noch eine Frage zur Injektivität. Ich glaube, ich habe die
> Lösung, aber ich bin mir sehr unsicher, würde lieber noch
> einmal nachfragen. Verwendet habe ich Assoziativität und
> Distributivität von [mm]\cap[/mm] und [mm]\cup[/mm], sowie die allgemeine
> Verträglichkeit von [mm]\cup[/mm] mit Bildern von Abbildungen:
>
Es gilt stets (also für eine beliebige Abb. f): f(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \subseteq [/mm] f(A) und f(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \subseteq [/mm] f(B),
also (*) f(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \subseteq [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)
> "[mm]\implies[/mm]": Sei [mm]f[/mm] injektiv. Dann folgt für [mm]x,y\in X[/mm] aus
> [mm]x\not=y[/mm] stets, dass [mm]f(x)=f(y)[/mm].
Da hast Du Dich sicher verschrieben. Es lautet: f(x) [mm] \ne [/mm] f(y)
Ist also [mm]x\not=y[/mm], so ist
> [mm]f(\{x\}\cap\{y\})=\emptyset=f(\{x\})\cap f(\{y\})[/mm],
> wohingegen für [mm]x=y[/mm] trivialerweise
> [mm]f(\{x\}\cap\{y\})=f(\{x\})\cap f(\{y\})[/mm] ist, sodass also
> mit Satz 3.8 folgt, dass
> [mm]f(A\cap B)[/mm]
> [mm]=f(\bigcup_{a\in A}\{a\}\cap\bigcup_{b\in B}\{b\})[/mm]
>
> [mm]=\bigcup_{(a,b)\in A\times B}f(\{a\}\cap\{b\})[/mm]
>
> [mm]=\bigcup_{a,b\in A\times B}f(\{a\})\cap f(\{b\})[/mm]
>
> [mm]=\bigcup_{a\in A} f(\{a\})\cap\bigcup_{b\in B} f(\{b\})[/mm]
>
> [mm]=f(A)\cap f(B)[/mm].
Da kommt man kaum mit .....
Es geht einfacher.
Wegen (*) ist nur zu zeigen: f(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \supseteq [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)
Sei also y [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] f(B). Dann gibt es a [mm] \in [/mm] A und b [mm] \in [/mm] B mit
y=f(a)=f(b).
Da f injektiv ist, folgt: a=b. Also ist a [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B und damit y [mm] \in [/mm] f(A [mm] \cap [/mm] B)
>
> "[mm]\impliedby[/mm]":Gilt hingegen sicher [mm]f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)[/mm],
> folgt für voneinander verschiedene [mm]x,y\in X[/mm], dass
> [mm]f(\{x\})\cap f(\{y\})=f(\{x\}\cap\{y\})=\emptyset[/mm], das
> heißt [mm]f(x)\not=f(y)[/mm], womit [mm]f[/mm] als injektiv bewiesen ist.
Das ist O.K.
FRED
>
> Für das unmathematische Ausdrücken und den u.U.
> verwirrenden Aufschrieb entschuldige ich mich, ich habe das
> so kopiert wie ich es mir aufgeschrieben hab, damit ich es
> verstehe. Ich hoffe, dass sich trotzdem jemand damit
> beschäftigt.
>
> Vielen Dank
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Danke, hab alles verstanden.
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