Injektivität < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:15 Fr 16.05.2008 | | Autor: | Tommylee |
| Aufgabe | Gegeben sei eine natürliche Zahl n [mm] \ge [/mm] 2 . Beweisen oder wiederlegen Sie
Ist die reelle Polynomfunktion
p : [mm] \IR \to \IR,
[/mm]
t [mm] \mapsto a_{0} [/mm] + [mm] a_{1}t^{1} [/mm] + [mm] a_{2}t^{2} [/mm] + ..... [mm] a_{m}t^{m}
[/mm]
injektiv
soist auch die Abbildung
[mm] \gamma [/mm] : [mm] \IR^{n,n} \to \IR^{n,n},
[/mm]
A [mm] \mapsto a_{0}I_{n}+a_{1}A+a_{2}A^{2}......+a_{m}A^{m}
[/mm]
injektiv |
Hi
also die relle Polynomfunktion ist aufgrund der symetrie injektiv
wenn m ungerade ist richtig ???
Und da folgende Zusammenhänge für Skalare sowie für matrizen gelten
Skalare sind ja 1x1 matrizen.
k = gerade Zahl b = ungerade Zahl
[mm] A^{k} [/mm] = [mm] B^{k} \Rightarrow [/mm] A = B [mm] \vee [/mm] A = -B
[mm] A^{b} [/mm] = [mm] B^{b} \Rightarrow [/mm] A = B
Also ist di Matrizenabbildung auch injektiv wenn m ungerade ist
richtig ??
lg
Thomas
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:30 Fr 16.05.2008 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Gegeben sei eine natürliche Zahl n [mm]\ge[/mm] 2 . Beweisen oder
> wiederlegen Sie
>
> Ist die reelle Polynomfunktion
>
> p : [mm]\IR \to \IR,[/mm]
> t [mm]\mapsto a_{0}[/mm] + [mm]a_{1}t^{1}[/mm] +
> [mm]a_{2}t^{2}[/mm] + ..... [mm]a_{m}t^{m}[/mm]
>
> injektiv
>
> soist auch die Abbildung
>
> [mm]\gamma[/mm] : [mm]\IR^{n,n} \to \IR^{n,n},[/mm]
>
> A [mm]\mapsto a_{0}I_{n}+a_{1}A+a_{2}A^{2}......+a_{m}A^{m}[/mm]
>
> injektiv
> also die relle Polynomfunktion ist aufgrund der symetrie
> injektiv
> wenn m ungerade ist richtig ???
Andersrum: wenn injektiv, dann m ungerade
> Und da folgende Zusammenhänge für Skalare sowie für
> matrizen gelten
> Skalare sind ja 1x1 matrizen.
>
> k = gerade Zahl b = ungerade Zahl
>
>
> [mm]A^{k}[/mm] = [mm]B^{k} \Rightarrow[/mm] A = B [mm]\vee[/mm] A = -B
Nimm mal k = 2, A die Einheitsmatrix und B = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }
[/mm]
> [mm]A^{b}[/mm] = [mm]B^{b} \Rightarrow[/mm] A = B
Nimm k = 3, A die Einheitsmatrix und B die Matrix der Abbildung, die den 1. Basisvektor auf den 2. abbildet, den 2. auf den 3. und den 3. auf den 1.
Damit kommst du auch der Lösung der Aufgabe sehr nahe.
> Also ist di Matrizenabbildung auch injektiv wenn m
> ungerade ist
>
> richtig ??
Nicht wirklich!
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:54 Fr 16.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Nimm p(t) = [mm] t^3. [/mm] p ist injektiv.
Folgt für Matrizen A und B aus [mm] A^3 [/mm] = [mm] B^3 [/mm] stets A = B ?? Nein !
Beispiel ?
|
|
|
|
