Injektiv, surjektiv, bijektiv < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien [mm] A=\{1,2,3\} [/mm] und [mm] B=\{4,5\}. [/mm] Falls möglich , finde man Funktionen f:A [mm] \to [/mm] B, g:A [mm] \to [/mm] B, h:A [mm] \to [/mm] B, für die gilt:
(i) f ist subjektiv, aber nicht injektiv
(ii) f ist injektiv, aber nicht surjektiv
(iii) f ist bijektiv
Falls Funktionen f,g und h mit den genannten Eigenschaften existieren, so gebe man diese Funktionen sowohl in Tabellenform, als auch als Pfeildiagramme an. Andernfalls gebe man eine (kurze!) Beschreibung für deren Nichtexistenz. |
Guten Tag,
als frisch registrierter User, begrüße ich zuerst Alle in diesem Matheraum und ein sichereres Wiedersehen in den nächsten Jahren ;)
Zu meiner Fragestellung:
Ich weiß was surjektiv und injektiv bedeutet und kann anhand einer Funktion beweisen, ob es zutrifft oder nicht. Den Rückschluss von einer Zahlenmenge auf eine Funktion bereitet mir jedoch Schwierigkeiten einen Ansatz zu finden, um diese Aufgabe anzugehen.
Über eine Hilfestellung bzw. Denkansatz würde ich mehr sehr freuen.
Mfg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es seien [mm]A=\{1,2,3\}[/mm] und [mm]B=\{4,5\}.[/mm]
> Falls möglich , finde man Funktionen
> f:A [mm]\to[/mm] B, g:A [mm]\to[/mm] B, h:A [mm]\to[/mm] B,
> für die gilt:
> (i) f ist surjektiv, aber nicht injektiv
> (ii) f ist injektiv, aber nicht surjektiv
> (iii) f ist bijektiv
> Falls Funktionen f,g und h mit den genannten Eigenschaften
> existieren, so gebe man diese Funktionen sowohl in
> Tabellenform, als auch als Pfeildiagramme an. Andernfalls
> gebe man eine (kurze!) Beschreibung für deren
> Nichtexistenz.
>
> Guten Tag,
>
> als frisch registrierter User, begrüße ich zuerst Alle in
> diesem Matheraum und ein sichereres Wiedersehen in den
> nächsten Jahren ;)
Das freut uns ! ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Zu meiner Fragestellung:
> Ich weiß was surjektiv und injektiv bedeutet und kann
> anhand einer Funktion beweisen, ob es zutrifft oder nicht.
> Den Rückschluss von einer Zahlenmenge auf eine Funktion
> bereitet mir jedoch Schwierigkeiten einen Ansatz zu finden,
> um diese Aufgabe anzugehen.
Naja, hier sind eben nur die Mengen A (Definitionsmenge der
Funktionen) und B (Zielmenge) gegeben. Allfällige mögliche
Zuordnungen (Funktionen) mit den gewünschtren Eigenschaften
sollst du selber angeben.
Da es aber insgesamt nur recht wenige Funktionen von A
nach B geben kann (nämlich exakt 8 Stück), sollte die Suche
nicht allzu schwierig sein ...
Du könntest dir sogar leicht eine Tabelle aller möglichen
Wertetabellen erstellen.
LG Al-Chw.
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Vielen Dank für die schnelle Antwort.
Um mir Gewissheit zu schaffen, ob ich die Fragestellung richtig verstanden habe, ein Beispiel:
Nehmen wir an [mm] f(x)=x^{2}.
[/mm]
Dann ist f injektiv, da x [mm] \not= [/mm] y und f(x) [mm] \not= [/mm] f(y) und nicht surjektiv, da dem Wert 5 aus der Menge B keinem Wert aus der Menge A abbildet.
Nun meine Frage.
Nach den Grundlagen einer Abbildung beschreibt man eine Vorschrift, durch die jedem Element a [mm] \in [/mm] A genau ein Element b [mm] \in [/mm] B zuordnet. In diesem Fall wird 1 und 3 ja keinem Wert zugeordnet, da diese nicht in der Zielmenge verfügbar sind!?
Ich habe das Gefühl, dass ich mich noch auf dem Holzweg befinde...
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> Vielen Dank für die schnelle Antwort.
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> Um mir Gewissheit zu schaffen, ob ich die Fragestellung
> richtig verstanden habe, ein Beispiel:
>
> Nehmen wir an [mm]f(x)=x^{2}.[/mm]
Vielleicht liegt da schon das erste kleine Missverständnis.
Es werden hier nämlich gar keine Funktionsgleichungen
zur Beschreibung der einzelnen Funktionen erwartet !
> Dann ist f injektiv, da x [mm]\not=[/mm] y und f(x) [mm]\not=[/mm] f(y) und
> nicht surjektiv, da dem Wert 5 aus der Menge B keinem Wert
> aus der Menge A abbildet.
Die Funktion mit [mm] f(x)=x^2 [/mm] ist eben gar keine Funktion von
A nach B, weil nicht alle f(x) mit [mm] x\in{A} [/mm] in B liegen.
> Nun meine Frage.
> Nach den Grundlagen einer Abbildung beschreibt man eine
> Vorschrift, durch die jedem Element a [mm]\in[/mm] A genau ein
> Element b [mm]\in[/mm] B zuordnet. In diesem Fall wird 1 und 3 ja
> keinem Wert zugeordnet, da diese nicht in der Zielmenge
> verfügbar sind!?
>
> Ich habe das Gefühl, dass ich mich noch auf dem Holzweg
> befinde...
Ja, das könnte sein. Eine Funktion von [mm] A=\{1,2,3\} [/mm] nach [mm] B=\{4,5\}
[/mm]
kann leicht vollständig beschrieben werden durch das Zahlen-
tripel < f(1) , f(2) , f(3) > aller ihrer Funktionswerte.
Ein Beispiel:
< 4 , 5 , 4 > steht für die Funktion [mm] f:A\to{B} [/mm] mit
f(1)=4 , f(2)=5 und f(3)=4 .
Diese Funktion ist offenbar surjektiv (alle Elemente von B
kommen als Funktionswerte vor), nicht injektiv (denn
f(1)=f(3) obwohl 1≠3) und nicht bijektiv (weil nicht injektiv).
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:00 So 23.10.2011 | | Autor: | Grischa87 |
Mir geht ein Licht auf ;)
Ich habe viel zu kompliziert gedacht. Vielen Dank für die Erläuterung und den Denkansatz, wobei mir die Erleuchtung auch schon nach ihrem ersten Beitrag hätte kommen können.
Mit freundlichen Grüßen
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