Injektiv Äquivalenzklasse Q < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:58 Mi 19.12.2012 | | Autor: | Coup |
| Aufgabe | Die Äquivalenzklassen [mm] \overline{M} [/mm] bilden einen Körper der rationalen Zahlen Q
Zeige, dass die Abbildung [mm] \phi [/mm] : [mm] \IZ \to \overline{M}, [/mm] x [mm] \mapsto \overline{(x,1)}
[/mm]
injektiv ist.
( Das phi sollte eigentlich als kleines dargestellt werden ) |
Hallo,
Kann die Injektivität dadurch begründet werden, dass x immer auf verschiedene Äquivalenzklassen abbildet ? Denn es gilt hier doch $f(x1)=f(x2) => x1=x2$
Oder liege ich mit der Idee daneben ?
lg
micha
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:29 Do 20.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Die Äquivalenzklassen [mm]\overline{M}[/mm] bilden einen Körper
> der rationalen Zahlen Q
> Zeige, dass die Abbildung [mm]\phi[/mm] : [mm]\IZ \to \overline{M},[/mm] x
> [mm]\mapsto \overline{(x,1)}[/mm]
> injektiv ist.
> ( Das phi sollte eigentlich als kleines dargestellt werden
> )
> Hallo,
> Kann die Injektivität dadurch begründet werden, dass x
> immer auf verschiedene Äquivalenzklassen abbildet ? Denn
> es gilt hier doch [mm]f(x1)=f(x2) => x1=x2[/mm]
>
> Oder liege ich mit der Idee daneben ?
>
>
> lg
> micha
Mein Gott. Hier muß man sich wieder alles selber zusammensuchen......
Ich gehe davon aus, dass auf [mm] \IZ^2 [/mm] folgende Äquivalenzrel. def. wurde:
(a,b) [mm] \sim [/mm] (u,v) [mm] \gdw [/mm] av=bu.
Ist nun [mm] \phi(x_1)=\phi(x_2), [/mm] so ist [mm] (x_1,1) \sim (x_2,1)
[/mm]
Jetzt Du.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:04 Do 20.12.2012 | | Autor: | Coup |
Ist nun $ [mm] \phi(x_1)=\phi(x_2), [/mm] $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ [mm] (x_1,1) \sim (x_2,1) [/mm] $ [mm] \gdw [/mm] $x1*1=x2*1$ [mm] \gdw [/mm] $x1=x2$
Was ja genau die Definition der Injektivität ist.
Also das x wie bereits gesagt immer auf die gleiche Äquivalenzklasse abbildet und niemals auf mehrere
lg und danke..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:23 Fr 21.12.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Coup,
> Ist nun [mm]\phi(x_1)=\phi(x_2),[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm](x_1,1) \sim (x_2,1)[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] [mm]x1*1=x2*1[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]x1=x2[/mm]
>
> Was ja genau die Definition der Injektivität ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Also das x wie bereits gesagt immer auf die gleiche
> Äquivalenzklasse abbildet und niemals auf mehrere
Das ist nicht die Definition der Injektivität. Das ist notwendig dafür, dass [mm] $\phi$ [/mm] überhaupt eine Abbildung ist. Injektivität bedeutet hier, dass jede Äquivalenzklasse höchstens von einer ganzen Zahl getroffen wird.
Viele Grüße
Tobias
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