Injektion/Surjektion < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:53 Di 15.01.2008 | | Autor: | jura |
| Aufgabe | 1.Handelt es sich jeweils um eine Injektion oder eine Surjektion bei folgenden reellen Funktionen [mm] f:\IR\to\IR, [/mm] die gegeben sind durch Zuordnung:
a) x [mm] \mapsto [/mm] x+1
b) x [mm] \mapsto [/mm] 2x
c) x [mm] \mapsto x^3
[/mm]
d) x [mm] \mapsto x^3-2x^2-x+2
[/mm]
e) x [mm] \mapsto x^4
[/mm]
f) x [mm] \mapsto [/mm] cosx
2.Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen [mm] f_i: \IZ\to\IZ, [/mm] i [mm] \in [/mm] {1,2,3}, auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität.
a) [mm] f_1(n)= [/mm] n-1
b) [mm] f_2(n)= n^2+1
[/mm]
c) [mm] f_3(n)=n^3 [/mm] |
wir haben leider dazu keine beispiele durchgenommen und so habe ich mich nun mal an diesen aufgaben versucht und würde mich über eine korrektur oder auch erklärungen sehr freuen.....
hier meine vorläufigen ergebnisse:
1.
a), b), c) sind surjektiv und injektiv- damit bijektiv
d) ist surjektiv
e),f) sind weder surjektiv noch injektiv
2. ehrlich gesagt verstehe ich noch nicht so recht den unterschied zu obiger aufgabe: hier betrachten wir nun also nicht mehr nur funktionen, sondern abbildungen- es können also vektoren eingesetzt werden---ist das der unterschied? und wie genau habe ich bei der untersuchung vorzugehen?
gruß und dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:13 Di 15.01.2008 | | Autor: | luis52 |
Hallo jura,
> hier meine vorläufigen ergebnisse:
> 1.
> a), b), c) sind surjektiv und injektiv- damit bijektiv
> d) ist surjektiv
> e),f) sind weder surjektiv noch injektiv
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2. ehrlich gesagt verstehe ich noch nicht so recht den
> unterschied zu obiger aufgabe: hier betrachten wir nun also
> nicht mehr nur funktionen, sondern abbildungen-
Das Wort "Abbildung" ist dasselbe wie Funktion.
> es können
> also vektoren eingesetzt werden---ist das der unterschied?
Hae?
> und wie genau habe ich bei der untersuchung vorzugehen?
Gegeben sei eine Funktion [mm] $f:M\to [/mm] N$. Du musst folgendes zeigen
a) Fuer alle [mm] $x,y\in [/mm] M$ gilt: [mm] $f(x)=f(y)\Rightarrow [/mm] x=y$ (Injektivitaet)
b) Fuer alle [mm] $y\in [/mm] N$ gibt es ein [mm] $x\in [/mm] M$ mit $f(x)=y$ (Surjektivitaet)
Betrachte 2b)
Kannst du aus [mm] $f_2(m)=m^2-1=n^2-1=f_2(n)$ [/mm] schliessen $m=n$?
Gibt es zu jeder ganzen Zahl [mm] $m\in\IZ$ [/mm] eine ganze Zahl [mm] $n\in\IZ$ [/mm] mit [mm] $n^2-1=m$?
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:07 Di 15.01.2008 | | Autor: | jura |
vielen dank!
> Gegeben sei eine Funktion [mm]f:M\to N[/mm]. Du musst folgendes
> zeigen
>
> a) Fuer alle [mm]x,y\in M[/mm] gilt: [mm]f(x)=f(y)\Rigtharrow x=y[/mm]
> (Injektivitaet)
sorry, aber diese schreibweise kapier ich einfach nicht- was soll das aussagen???
> b) Fuer alle [mm]y\in N[/mm] gibt es ein [mm]x\in M[/mm] mit [mm]f(x)=y[/mm]
> (Surjektivitaet)
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:14 Di 15.01.2008 | | Autor: | luis52 |
>
> > a) Fuer alle [mm]x,y\in M[/mm] gilt: [mm]f(x)=f(y)\Rigtharrow x=y[/mm]
> > (Injektivitaet)
>
> sorry, aber diese schreibweise kapier ich einfach nicht-
> was soll das aussagen???
>
Selber sorry, hab nicht sorgfaeltig genug Korrektur gelesen. Es muss heissen:
a) Fuer alle [mm]x,y\in M[/mm] gilt: [mm]f(x)=f(y)\Rightarrow x=y[/mm]
Hab's inzwischen verbessert.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Di 15.01.2008 | | Autor: | jura |
ok, gut, gefällt mir schon besser 
kurze zwischenfrage: wenn du für die definitionsmenge M definierst und für die zielmenge N, dann ist es etwas verwirrend, mit m,n für zwei elemente der definitionsmenge zu arbeiten, oder? [mm] m_1, m_2 [/mm] ist vielleicht besser??
naja, hier zumindest ersteinmal meine ergebnisse:
a) injektiv, surjektiv- damit bijektiv
b) weder injektv noch surjektiv
c) injektiv
und noch einmal zum allgemeinen verständnis: haben die beiden aufgaben 1. und 2. wirklich keinen unterschied? (außer, dass die mengen bei 2. nur für ganze zahlen definiert sind)
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> naja, hier zumindest ersteinmal meine ergebnisse:
> a) injektiv, surjektiv- damit bijektiv
> b) weder injektv noch surjektiv
> c) injektiv
Hallo,
die sind richtig.
>
> und noch einmal zum allgemeinen verständnis: haben die
> beiden aufgaben 1. und 2. wirklich keinen unterschied?
> (außer, dass die mengen bei 2. nur für ganze zahlen
> definiert sind)
Nein, es gibt da keinen Unterschied, die Definitionen von injektiv und surjektiv bleiben ja gleich.
Man kann an der Aufgabe trotzdem etwas über Unterschiede lernen:
es ist für Injektivität/Surjektivität einer Funktion Start- und Zielmenge ebenso beachtenswert wie die Zuordnungsvorschrift, vergleiche hierfür z.B. 1c) und 2c). Unterschiedliche Start- und Zielmenge können Auswirkungen haben!
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:12 Mi 16.01.2008 | | Autor: | jura |
genau, das ist mir bei der aufgabe ebenfalls klar geworden!
vielen dank für eure kontrolle und erklärung,
bis demnächst!
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