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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:13 Di 23.08.2005 | | Autor: | Philly |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen.
Wie kann ich folgenden Satz möglichst ökonomisch Beweisen?
Seien A,B nichtleere Mengen und f:A [mm]\to[/mm] B eine Abbildung. Dann Gilt.
i) f surjektiv [mm] \gdw[/mm] [mm]\exists[/mm] g:B [mm]\to[/mm] A injektiv mit f[mm]\circ[/mm]g = [mm]id_B[/mm]
ii) f injektiv [mm] \gdw[/mm] [mm]\exists[/mm] g:B [mm]\to[/mm] A surjektiv mit g[mm]\circ[/mm]f = [mm]id_A[/mm]
Soweit die Aufgabenstellung (Aufgabe ist übrigens aus einem Vorlesungsskript Analysis I)
Mein Ansatz wäre nun:
zu i)
[mm] [b]$\Rightarrow$)[/b] [/mm] (Beweis der Implikation von links nach rechts)
Zerlege A in paarweise disjunkte Teilmengen deren Elemente x jeweils den gleichen Funktionswert f(x) haben
[mm] $A_i$ [/mm] = $ [mm] \{x\inA | f(x)=i \}$ $\forall$ [/mm] $i [mm] \in [/mm] B$
[mm] $\cup_{i \in B}A_i [/mm] = A$ ist also eine Partition der Menge A
Nach dem Auswahlaxiom gibt es nun eine Auswahlfunktion
$g: B [mm] \to \cup_{i \in B}A_i$ [/mm]
$i [mm] \mapsto g(i)=x_i \in A_i$
[/mm]
da i = f(x) hat g die Eigenschaft $f [mm] \circ [/mm] g = [mm] id_B$
[/mm]
Nachweis der Injektivität von g:
Sei g nicht injektiv
d.h. [mm] $\exists_{q,r\inB} [/mm] (g(q) = g(r) [mm] \wedge [/mm] q [mm] \not= [/mm] r)$
es gilt jedoch f(g(q)) = q und f(g(r)) = r
da aber g(q) = g(r) muss auch q = r sein! Wiederspruch!!!
Ist das überhaupt ein sinnvoller Ansatz (so wie ich die "Umkehrfunktion von f erzeugt habe)?
Wie kann ich die umgekehrte Implikation beweisen?
Benötige auch erst mal nur Antwort auf i)!
Greetz
Philipp
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Hallo Phillip,
das ist alles richtig, und ohne Auswahlaxiom geht's im Allgemeinen auch nicht. Auch nicht kürzer.
Vielleicht genügt im Teil, wo Du die Injektivität zeigst, der Hinweis, dass die Auswahlfunktion g in eine Partition geht: dann ist g(x) = g(y) nur für x=y möglich.
Bei der Umkehrung ist nicht viel zu beweisen:
Wenn g auf ganz B definiert ist und es für jedes [mm] y\in [/mm] B ein [mm] g(y)\in [/mm] A mit
f(g(y)) = y gibt, dann ist f per definitionem surjektiv.
Grüße, Richard
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:50 Di 23.08.2005 | | Autor: | SEcki |
> Wie kann ich die umgekehrte Implikation beweisen?
> Benötige auch erst mal nur Antwort auf i)!
Angenommen f wäre nicht surjektiv, dann kannst du die Existentz einer solchen Funktion g mit der geforderten Eigenschaft auf einen Widerspruch führen.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:36 Di 23.08.2005 | | Autor: | Philly |
Vielen Dank für die schnelle Antwort. Hätte gedacht das dauert in den semesterferien länger.
(Hab noch nicht genau verstanden was genau es mit der Statusgeschichte auf sich hat, also so ungefähr schon aber eben nicht ganz. z.B. sind mir die Einträge von Loddar bzgl. der ersten Reaktion zu meinem Post nicht ganz klar:
Statusgeschichte: 23.08. 22:38 (Antwort) Korrektur gelesen (schnell) Philly
23.08. 18:36 (Antwort) fertig Loddar
23.08. 18:36 (Antwort) noch nicht fertig Loddar
23.08. 18:36 (Mitteilung) Reaktion unnötig Loddar
23.08. 18:33 (Frage) statuslos Loddar
was bedeutet : "(Mitteilung) Reaktion unnötig" ? dazu erscheint gar kein Post im Diskussionsstrang!?
Viele Grüße
Philipp
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