Inj. Surj. <=> R./L.invers < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien f: X [mm] \to [/mm] Y und g: Y [mm] \to [/mm] X Abbildungen.
(a) Sei X [mm] \not= \emptyset [/mm] Beweisen sie: f ist genau dann injektiv, wenn eine Linksinverse g zu f existiert.
(b) Beweisen sie: f ist genau dann Surjektiv, wenn eine Rechtsinverse g zu f existiert.
(c) Ist g in (a) immer eindeutig bestimmt? Ist g in (b) immer eindeutig bestimmt? Begründen sie jeweils ihre Antwort. |
Hallo Liebe Mathefreunde,
ich komme mit meinen Beweisen nicht vorran. Intuitiv sind beide Aussagen klar, mir fehlt aber der Beweisansatz.
zu(a)
Seien A und B Aussagen:
A: "g ist linksinvers zu f"
B: "f ist injektiv"
Widerspruchsbeweis:
[mm] \neg [/mm] (A [mm] \Rightarrow [/mm] B) [mm] \gdw [/mm] A [mm] \wedge \neg [/mm] B
Wenn ich nun eine Funktion aufstellen könnte, von der zwar g die linksinverse zu f ist, f aber nicht Injektiv ist, wäre mir geholfen. Aber leider genau das geht ja nicht. Egal welche Funktion ich wähle gilt: Gibt es die Linksinverse ( g [mm] \circ [/mm] f [mm] =Id_{X} [/mm] ), dann muss f auch injektiv sein.
zu(b)
Bei B entsprechend die gleichen Probleme
Seien A und B Aussagen:
A: "g ist Rechtsinvers zu f"
B: "f ist surjektiv"
Widerspruchsbeweis:
[mm] \neg [/mm] (A [mm] \Rightarrow [/mm] B) [mm] \gdw [/mm] A [mm] \wedge \neg [/mm] B
Wenn ich nun eine Funktion aufstellen könnte, von der zwar g die rechtsinverse zu f ist, f aber nicht Surjektiv ist, wäre mir geholfen. Aber leider genau das geht ja nicht. Egal welche Funktion ich wähle gilt: Gibt es die Linksinverse ( f [mm] \circ [/mm] g [mm] =Id_{Y} [/mm] ), dann muss f auch injektiv sein.
Zu (c)
In (a) ist g nicht immer eindeutig bestimmt, da es Elemente von Y geben kann die nicht auf die Menge X abgebildet werden (Def. Injektivität).
In (b) ist g nicht immer eindeutig bestimmt, da einem Element von Y mehrere Elemente von X zugeordnet sein können. (Def. Surjektivität)
((c) sollte so eigentlich richtig sein. Oder macht es der eindeutigen Bestimmtheit von g nichts aus, wenn nicht alle Elemente von Y abgebildet werden?)
Vielen Dank schon eimal für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 So 10.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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