Initial- u. Finaltopologie < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:15 Mi 07.03.2012 | | Autor: | dennis2 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Seien $(X,\tau),(Y,\eta),(Z,\zeta)$ topologische Räume und $f\colon: (X,\tau)\to (Y,\eta)$ sowie $g\colon (Y,\eta)\to (Z,\zeta)$ stetige Abbildungen.
Zeigen Sie:
Ist $(Z,\zeta)=(X,\tau)$ und ist $g\circ f=id_X$, so trägt das Ziel von $g\colon (Y,\eta)\to (X,\tau)$ die Finaltopologie und die Quelle von $f\colon (X,\tau)\to (Y,\eta)$ die Initialtopologie. |
Hallo, ich würde gerne das mit der Initialtopologie beweisen, daß also die Quelle von $f\colon (X,\tau)\to (Y,\eta)$ die Initialtopologie trägt.
Das habe ich so aufgefasst, daß ich zeigen soll, daß f die Initialtopologie auf X induziert.
Ich habe in einer vorherigen Teilaufgabe gezeigt, daß f die Initialtopologie auf X induziert, wenn $g\circ f$ die Initialtopologie auf X induziert. Ich würde also jetzt zeigen wollen, daß $g\circ f=id_X$ die Initialtopologie auf X induziert.
Dazu habe ich mir die Subbasis $\mathcal{S}$ der von $g\circ f$ induzierten Initialtopologie angeschaut:
$\mathcal{S}=\left\{f^{-1}({g^{-1}(O))~|~O\in\tau\right\}=\left\{id_X^{-1}(O)~|~O\in\tau\right\}=\left\{O~|~O\in\tau\right\}=\tau$
Das bedeutet doch Folgendes:
$\mathcal{S}$ erzeugt die Initialtopologie auf X, dies ist die kleinste Topologie, die $\mathcal{S}$ enthält. Da $\mathcal{S}=\tau$, ist $\tau$ die kleinste Topologie, die $\mathcal{S}$ enthält. Also muss $\tau$ die Initialtopologie auf X sein.
Das wäre mein Beweis.
Ist er okay?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:22 Fr 09.03.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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