Inhomogene lineare DGL 2.Ord. < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:47 So 19.10.2008 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | 1. y '' + y ' -2*y = -10 ; y(0)= 12 ; y ' (0)= -2
2. y '' y = 5 ; y(0)= 7 ; y' (0)= 5
3. y '' - 8*y ' +16*y = 48 keine Anfangswerte gegeben !???
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Allgemein
y '' + [mm] a_1*y [/mm] ' + [mm] a_2*y [/mm] = s
Lösung: y = [mm] y_h [/mm] + [mm] y_p [/mm]
[mm] y_h [/mm] : Allg. Lsg der homogenen DGL
[mm] y_p: [/mm] partikuläre Lsg der inhomogenen DGL
Aufgabe 1
1. [mm] y_h [/mm] ermitteln
y '' + y ' -2*y = 0
=> [mm] \lambda^2 [/mm] + [mm] \lambda [/mm] -2 = 0
[mm] \lambda_1 [/mm] = 1
[mm] \lambda_2 [/mm] = -2
[mm] y_h [/mm] = [mm] C_1*e^{\lambda_1*x} [/mm] + [mm] C_2*e^{\lambda_2*x}
[/mm]
[mm] y_h [/mm] = [mm] C_1*e^x [/mm] + [mm] C_2*e^{-2x}
[/mm]
2. [mm] y_p [/mm] ermitteln
[mm] y_p [/mm] = [mm] \bruch{s}{a_2}
[/mm]
[mm] y_p [/mm] = [mm] \bruch{-10}{-2} [/mm] = 5
3. Allgemeine Lösung inhomogene DGL
y = [mm] C_1*e^x [/mm] + [mm] C_2*e^{-2x} [/mm] +5
=> y ' = [mm] C_1*e^x -2*C_2*e^{-2x}
[/mm]
y(0) = 12 12 = [mm] C_1*e^0 [/mm] + [mm] C_2*e^{-2*0} [/mm] +5
y ' (0) = -2 -2 = [mm] C_1*e^0 -2*C_2*e^{2*0}
[/mm]
12= [mm] C_1 +C_2 [/mm] +5
-2 = [mm] C_1 +2*C_2
[/mm]
[mm] C_2 [/mm] = 3 ; [mm] C_1 [/mm] = 4
Spezielle Lösung
y = [mm] 4*e^x [/mm] + [mm] 3*e^{-2x} [/mm] +5
***
Aufgabe 2
1. [mm] y_h [/mm] ermitteln
y '' +y = 5
=> [mm] \lambda^2 [/mm] + [mm] \lambda [/mm] = 0
[mm] \lambda_1 [/mm] = 0
[mm] \lambda_2 [/mm] = -1
[mm] y_h [/mm] = [mm] C_1*e^{\lambda_1*x} [/mm] + [mm] C_2*e^{\lambda_2*x}
[/mm]
[mm] y_h [/mm] = [mm] C_1*e^0 [/mm] + [mm] C_2*e^{-x}
[/mm]
[mm] y_h [/mm] = [mm] C_1 [/mm] + [mm] C_2*e^{-x}
[/mm]
2. [mm] y_p [/mm] ermitteln
[mm] y_p [/mm] = [mm] \bruch{s}{a_2}
[/mm]
[mm] y_p [/mm] = [mm] \bruch{5}{1} [/mm] = 5
3. Allgemeine Lösung inhomogene DGL
y = [mm] C_1 [/mm] + [mm] C_2*e^{-x} [/mm] +5
=> y ' = [mm] -C_2*e^{-x}
[/mm]
y(0) = 7 7 = [mm] C_1 [/mm] + [mm] C_2*e^{-0} [/mm] +5
y ' (0) = 5 5 = - [mm] C_2*e^{-0}
[/mm]
7= [mm] C_1 +C_2 [/mm] +5
5 = - [mm] C_2
[/mm]
[mm] C_2 [/mm] = -5 ; [mm] C_1 [/mm] = 7
Spezielle Lösung
y = 7 - [mm] 5*e^{-x} [/mm] +5
y = [mm] -5*e^{-x} [/mm] +12
***
Aufgabe 3
1. [mm] y_h [/mm] ermitteln
y '' -8*y ' +16y = 48
=> [mm] \lambda^2 [/mm] + [mm] -8*\lambda [/mm] +16 = 0
[mm] \lambda [/mm] = 4
[mm] y_h [/mm] = [mm] C_1*e^{\lambda*x} [/mm] + [mm] C_2*x*e^{\lambda*x}
[/mm]
[mm] y_h [/mm] = [mm] C_1*e^{4*x} [/mm] + [mm] C_2*x*e^{4*x}
[/mm]
2. [mm] y_p [/mm] ermitteln
[mm] y_p [/mm] = [mm] \bruch{s}{a_2}
[/mm]
[mm] y_p [/mm] = [mm] \bruch{48}{16} [/mm] = 3
3. Allgemeine Lösung inhomogene DGL
y = [mm] C_1*e^{4x} [/mm] + [mm] C_2*x*e^{4x} [/mm] +3
Stimmt das soweit? Ist das die komplette Lösung bei Aufgabe 3; wie gesagt es sind keine Anfangswerte gegeben.
Danke & Gruß
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Hallo hase-hh,
> 1. y '' + y ' -2*y = -10 ; y(0)= 12 ; y ' (0)= -2
>
> 2. y '' y = 5 ; y(0)= 7 ; y' (0)= 5
>
> 3. y '' - 8*y ' +16*y = 48 keine Anfangswerte gegeben
> !???
>
> Allgemein
>
> y '' + [mm]a_1*y[/mm] ' + [mm]a_2*y[/mm] = s
>
> Lösung: y = [mm]y_h[/mm] + [mm]y_p[/mm]
>
> [mm]y_h[/mm] : Allg. Lsg der homogenen DGL
> [mm]y_p:[/mm] partikuläre Lsg der inhomogenen DGL
>
>
> Aufgabe 1
>
> 1. [mm]y_h[/mm] ermitteln
>
> y '' + y ' -2*y = 0
>
> => [mm]\lambda^2[/mm] + [mm]\lambda[/mm] -2 = 0
>
> [mm]\lambda_1[/mm] = 1
> [mm]\lambda_2[/mm] = -2
>
> [mm]y_h[/mm] = [mm]C_1*e^{\lambda_1*x}[/mm] + [mm]C_2*e^{\lambda_2*x}[/mm]
>
> [mm]y_h[/mm] = [mm]C_1*e^x[/mm] + [mm]C_2*e^{-2x}[/mm]
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> 2. [mm]y_p[/mm] ermitteln
>
> [mm]y_p[/mm] = [mm]\bruch{s}{a_2}[/mm]
>
> [mm]y_p[/mm] = [mm]\bruch{-10}{-2}[/mm] = 5
>
> 3. Allgemeine Lösung inhomogene DGL
>
> y = [mm]C_1*e^x[/mm] + [mm]C_2*e^{-2x}[/mm] +5
>
> => y ' = [mm]C_1*e^x -2*C_2*e^{-2x}[/mm]
>
>
> y(0) = 12 12 = [mm]C_1*e^0[/mm] + [mm]C_2*e^{-2*0}[/mm] +5
>
> y ' (0) = -2 -2 = [mm]C_1*e^0 -2*C_2*e^{2*0}[/mm]
>
> 12= [mm]C_1 +C_2[/mm] +5
>
> -2 = [mm]C_1 +2*C_2[/mm]
>
> [mm]C_2[/mm] = 3 ; [mm]C_1[/mm] = 4
>
> Spezielle Lösung
>
> y = [mm]4*e^x[/mm] + [mm]3*e^{-2x}[/mm] +5
>
> ***
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Aufgabe 2
>
> 1. [mm]y_h[/mm] ermitteln
>
> y '' +y = 5
>
> => [mm]\lambda^2[/mm] + [mm]\lambda[/mm] = 0
Es muss heissen:
[mm]\lambda^{2}+1=0[/mm]
Da kein [mm]y'[/mm] in der DGL.
>
> [mm]\lambda_1[/mm] = 0
> [mm]\lambda_2[/mm] = -1
>
> [mm]y_h[/mm] = [mm]C_1*e^{\lambda_1*x}[/mm] + [mm]C_2*e^{\lambda_2*x}[/mm]
>
> [mm]y_h[/mm] = [mm]C_1*e^0[/mm] + [mm]C_2*e^{-x}[/mm]
>
> [mm]y_h[/mm] = [mm]C_1[/mm] + [mm]C_2*e^{-x}[/mm]
>
> 2. [mm]y_p[/mm] ermitteln
>
> [mm]y_p[/mm] = [mm]\bruch{s}{a_2}[/mm]
>
> [mm]y_p[/mm] = [mm]\bruch{5}{1}[/mm] = 5
>
> 3. Allgemeine Lösung inhomogene DGL
>
> y = [mm]C_1[/mm] + [mm]C_2*e^{-x}[/mm] +5
>
> => y ' = [mm]-C_2*e^{-x}[/mm]
>
>
> y(0) = 7 7 = [mm]C_1[/mm] + [mm]C_2*e^{-0}[/mm] +5
>
> y ' (0) = 5 5 = - [mm]C_2*e^{-0}[/mm]
>
> 7= [mm]C_1 +C_2[/mm] +5
>
> 5 = - [mm]C_2[/mm]
>
> [mm]C_2[/mm] = -5 ; [mm]C_1[/mm] = 7
>
> Spezielle Lösung
>
> y = 7 - [mm]5*e^{-x}[/mm] +5
>
> y = [mm]-5*e^{-x}[/mm] +12
>
> ***
Diese Teilaufgabe mußt Du nochmal nachrechnen.
>
> Aufgabe 3
>
> 1. [mm]y_h[/mm] ermitteln
>
> y '' -8*y ' +16y = 48
>
> => [mm]\lambda^2[/mm] + [mm]-8*\lambda[/mm] +16 = 0
>
> [mm]\lambda[/mm] = 4
>
> [mm]y_h[/mm] = [mm]C_1*e^{\lambda*x}[/mm] + [mm]C_2*x*e^{\lambda*x}[/mm]
>
> [mm]y_h[/mm] = [mm]C_1*e^{4*x}[/mm] + [mm]C_2*x*e^{4*x}[/mm]
>
>
> 2. [mm]y_p[/mm] ermitteln
>
> [mm]y_p[/mm] = [mm]\bruch{s}{a_2}[/mm]
>
> [mm]y_p[/mm] = [mm]\bruch{48}{16}[/mm] = 3
>
> 3. Allgemeine Lösung inhomogene DGL
>
> y = [mm]C_1*e^{4x}[/mm] + [mm]C_2*x*e^{4x}[/mm] +3
>
Das stimmt auch.
>
> Stimmt das soweit? Ist das die komplette Lösung bei Aufgabe
> 3; wie gesagt es sind keine Anfangswerte gegeben.
>
>
> Danke & Gruß
>
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 So 19.10.2008 | | Autor: | hase-hh |
moin,
> >
> > Aufgabe 2
> >
> > 1. [mm]y_h[/mm] ermitteln
> >
> > y '' +y = 5
> >
> > => [mm]\lambda^2[/mm] + [mm]\lambda[/mm] = 0
>
>
> Es muss heissen:
>
> [mm]\lambda^{2}+1=0[/mm]
>
> Da kein [mm]y'[/mm] in der DGL.
>
1. Frage: falls y ' gemeint gewesen wäre, wäre die Lösung ok?
2. Frage:
Wenn ich die Gleichung [mm] \lambda^2 [/mm] + 1 =0 lösen soll, dann gibt es gar keine reellen Lösungen.
Habe keine Unterlagen über Komplexe Lösungsformeln für solche DGL (homogene lineare DGL 2. Ordnung).
Gibt es (relativ) einfache Lösungsformeln für den Fall, dass die Diskriminante wie in diesem Fall < 0 ist??? Wie lauten diese?
Denke, da es hier um Mathe I bzw. Mathe II für WiWis geht, sollte es nicht zu schwer sein...
Gruß
> >
> > [mm]\lambda_1[/mm] = 0
> > [mm]\lambda_2[/mm] = -1
> >
> > [mm]y_h[/mm] = [mm]C_1*e^{\lambda_1*x}[/mm] + [mm]C_2*e^{\lambda_2*x}[/mm]
> >
> > [mm]y_h[/mm] = [mm]C_1*e^0[/mm] + [mm]C_2*e^{-x}[/mm]
> >
> > [mm]y_h[/mm] = [mm]C_1[/mm] + [mm]C_2*e^{-x}[/mm]
> >
> > 2. [mm]y_p[/mm] ermitteln
> >
> > [mm]y_p[/mm] = [mm]\bruch{s}{a_2}[/mm]
> >
> > [mm]y_p[/mm] = [mm]\bruch{5}{1}[/mm] = 5
> >
> > 3. Allgemeine Lösung inhomogene DGL
> >
> > y = [mm]C_1[/mm] + [mm]C_2*e^{-x}[/mm] +5
> >
> > => y ' = [mm]-C_2*e^{-x}[/mm]
> >
> >
> > y(0) = 7 7 = [mm]C_1[/mm] + [mm]C_2*e^{-0}[/mm] +5
> >
> > y ' (0) = 5 5 = - [mm]C_2*e^{-0}[/mm]
> >
> > 7= [mm]C_1 +C_2[/mm] +5
> >
> > 5 = - [mm]C_2[/mm]
> >
> > [mm]C_2[/mm] = -5 ; [mm]C_1[/mm] = 7
> >
> > Spezielle Lösung
> >
> > y = 7 - [mm]5*e^{-x}[/mm] +5
> >
> > y = [mm]-5*e^{-x}[/mm] +12
> >
> > ***
>
>
> Diese Teilaufgabe mußt Du nochmal nachrechnen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:48 So 19.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du nicht komplex rechnen kannst machst du in dem Fall den ansatz A*sin(rt)+B*cos(rt)
weill du weisst, dass (sinx)''=-sinx ebenso (cosx)''=-cosx
hier sind deine Fundamentalloesungen sinx und cosx.
Aber zum prinzip: Ich setz immer meine Ergebnisse nochmal in die Dgl. ein, weil ja jeder mal dumme Fehler macht.
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 So 19.10.2008 | | Autor: | hase-hh |
Moin,
ok. Also lautet die Allgemeine Lösung einer homogenen DGL 2. Ordnung bei konjugiert-komplexen Lösungen
[mm] y_h [/mm] = [mm] e^{ax}*(C_1*cos(bx) [/mm] + [mm] C_2*sin(bx)) [/mm]
mit (aus der Charakteristischen Gleichung ermittelten)
a = - [mm] \bruch{p}{2}
[/mm]
b = [mm] \wurzel{\bruch{p^2}{4}-q}
[/mm]
zurück zu Aufgabe 2
y '' + y = 5 bzw. homogene Gleichung
y '' + y = 0
1. Charakteristische Gleichung
[mm] \lambda^2 [/mm] + 1 = 0
[mm] \lambda_{1/2} [/mm] = - [mm] \bruch{0}{2} \pm \wurzel{0 -1}
[/mm]
[mm] \lambda_{1/2} [/mm] = 0 [mm] \pm \wurzel{-1}
[/mm]
[mm] \lambda_{1/2} [/mm] = 0 [mm] \pm [/mm] 1*i
Hier ist 0 = a und 1 = b !!
2. a und b einsetzen in [mm] y_h
[/mm]
[mm] y_h [/mm] = [mm] e^{0*x}*(C_1*cos(1*x) [/mm] + [mm] C_2*sin(1*x)) [/mm]
[mm] y_h [/mm] = [mm] C_1*cos(x) [/mm] + [mm] C_2*sin(x) [/mm]
[mm] y_p [/mm] = [mm] \bruch{s}{a_2} [/mm] = [mm] \bruch{5}{1} [/mm] = 5
Allgemeine Lösung
y = [mm] C_1*cos(x) [/mm] + [mm] C_2*sin(x) [/mm] +5
Bilde Ableitung
=> y ' = - [mm] C_1*sin(x) [/mm] + [mm] C_2*cos(x) [/mm]
3. Anfangswerte einsetzen
y(0)= 7 7 = [mm] C_1*cos(0) [/mm] + [mm] C_2*sin(0) [/mm] +5 ; 2 = [mm] C_1
[/mm]
y ' (0)= 5 5 = - [mm] C_1*sin(0) [/mm] + [mm] C_2*cos(0) [/mm] ; 5 = [mm] C_2
[/mm]
Spezielle Lösung
y = 2*cos(x) +5*sin(x) +5
Gruß
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Hallo hase-hh,
> Moin,
>
> ok. Also lautet die Allgemeine Lösung einer homogenen DGL
> 2. Ordnung bei konjugiert-komplexen Lösungen
>
> [mm]y_h[/mm] = [mm]e^{ax}*(C_1*cos(bx)[/mm] + [mm]C_2*sin(bx))[/mm]
Ja.
>
> mit (aus der Charakteristischen Gleichung ermittelten)
>
> a = - [mm]\bruch{p}{2}[/mm]
>
> b = [mm]\wurzel{\bruch{p^2}{4}-q}[/mm]
>
>
> zurück zu Aufgabe 2
>
>
> y '' + y = 5 bzw. homogene Gleichung
>
> y '' + y = 0
>
> 1. Charakteristische Gleichung
>
> [mm]\lambda^2[/mm] + 1 = 0
>
> [mm]\lambda_{1/2}[/mm] = - [mm]\bruch{0}{2} \pm \wurzel{0 -1}[/mm]
>
> [mm]\lambda_{1/2}[/mm] = 0 [mm]\pm \wurzel{-1}[/mm]
>
> [mm]\lambda_{1/2}[/mm] = 0 [mm]\pm[/mm] 1*i
>
> Hier ist 0 = a und 1 = b !!
>
>
> 2. a und b einsetzen in [mm]y_h[/mm]
>
> [mm]y_h[/mm] = [mm]e^{0*x}*(C_1*cos(1*x)[/mm] + [mm]C_2*sin(1*x))[/mm]
>
> [mm]y_h[/mm] = [mm]C_1*cos(x)[/mm] + [mm]C_2*sin(x)[/mm]
>
>
> [mm]y_p[/mm] = [mm]\bruch{s}{a_2}[/mm] = [mm]\bruch{5}{1}[/mm] = 5
>
> Allgemeine Lösung
>
> y = [mm]C_1*cos(x)[/mm] + [mm]C_2*sin(x)[/mm] +5
>
>
> Bilde Ableitung
>
> => y ' = - [mm]C_1*sin(x)[/mm] + [mm]C_2*cos(x)[/mm]
>
>
> 3. Anfangswerte einsetzen
>
>
> y(0)= 7 7 = [mm]C_1*cos(0)[/mm] + [mm]C_2*sin(0)[/mm] +5 ; 2 = [mm]C_1[/mm]
>
> y ' (0)= 5 5 = - [mm]C_1*sin(0)[/mm] + [mm]C_2*cos(0)[/mm] ; 5 = [mm]C_2[/mm]
>
>
> Spezielle Lösung
>
> y = 2*cos(x) +5*sin(x) +5
>
Stimmt.
>
> Gruß
Gruß
MathePower
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