Inhomog. DGL-System m. Laplace < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei das inhomogene DGL-System x' = Ax(t) + b(t)
mit [mm] A=\pmat{ 1 & 3 \\ 3 & 1 } [/mm] , [mm] [u]b[/u](t)=\pmat{ 0 \\ 1 }
[/mm]
Ermitteln Sie mit Hilfe der Laplace-Transformation die Lösung x(t) zum Anfangszustand x(0) = 0 |
ich kann in der Formelsammlung leider nur den Lösungsweg für das auffinden einer part. Lösung finden, nicht aber für die Lösung mit Laplace-Trans.
Wie muss der Lösungsansatz als Laplace in Matrixenschreibweise sein? komm hier einfach nicht weiter.
vielen dank schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:00 Mo 16.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei das inhomogene DGL-System x' = Ax(t) + b(t)
>
> mit [mm]A=\pmat{ 1 & 3 \\ 3 & 1 }[/mm] , [mm][u]b[/u](t)=\pmat{ 0 \\ 1 }[/mm]
>
> Ermitteln Sie mit Hilfe der Laplace-Transformation die
> Lösung x(t) zum Anfangszustand x(0) = 0
>
> ich kann in der Formelsammlung leider nur den Lösungsweg
> für das auffinden einer part. Lösung finden, nicht aber
> für die Lösung mit Laplace-Trans.
Sei [mm] $x(t)=\vektor{x_1(t) \\ x_2(t)}$
[/mm]
Das System liefert dann die beiden Gleichungen:
[mm] x_1'(t)= x_1(t)+3x_2(t)
[/mm]
[mm] x_2'(t)= 3x_1(t)+x_2(t)+1
[/mm]
Wende auf diese beiden Gl. die Laplacetrafo an.
FRED
>
> Wie muss der Lösungsansatz als Laplace in
> Matrixenschreibweise sein? komm hier einfach nicht weiter.
>
> vielen dank schonmal!
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>Sei [mm] $x(t)=\vektor{x_1(t) \\ x_2(t)}$
[/mm]
>
>Das System liefert dann die beiden Gleichungen:
>
> [mm] x_1'(t)= x_1(t)+3x_2(t)
[/mm]
>
> [mm] x_2'(t)= 3x_1(t)+x_2(t)+1
[/mm]
>
>Wende auf diese beiden Gl. die Laplacetrafo an.
>
>FRED
die linke Seite der Gleichungen müsste dann wie folgt lauten:
[mm] [s*X_1(S)-x(0)]-1*X_1(t)= [/mm] F(s)
nun ist die Frage wie ich zur laplace transformierten der störfunktion [mm] x_2(t) [/mm] komme. oder bin ich hier völlig auf dem Holzweg?
danke
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Hallo likenobody,
> >Sei [mm]x(t)=\vektor{x_1(t) \\ x_2(t)}[/mm]
> >
> >Das System liefert dann die beiden Gleichungen:
> >
> > [mm]x_1'(t)= x_1(t)+3x_2(t)[/mm]
> >
> > [mm]x_2'(t)= 3x_1(t)+x_2(t)+1[/mm]
> >
> >Wende auf diese beiden Gl. die Laplacetrafo an.
> >
> >FRED
>
> die linke Seite der Gleichungen müsste dann wie folgt
> lauten:
> [mm][s*X_1(S)-x(0)]-1*X_1(t)=[/mm] F(s)
>
> nun ist die Frage wie ich zur laplace transformierten der
> störfunktion [mm]x_2(t)[/mm] komme. oder bin ich hier völlig auf
> dem Holzweg?
[mm]x_{2}\left(t\right)[/mm] ist doch Bestandteil des DGL-Systems.
Daher ist die Laplace-Transformierte von [mm]x_{2}\left(t\right)[/mm]: [mm]X_{2}\left(S\right)[/mm]
>
> danke
Gruss
MathePower
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Ich habe die Gleichungen nun soweit aufgelöst, nun habe ich ein elementares Problem. Wie lautet die Laplace-Transformierte von null?
denn die erste gleichung lautet nun ja
[mm] x`_1-x_1-3x_2=0
[/mm]
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:51 Mo 23.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe die Gleichungen nun soweit aufgelöst, nun habe
> ich ein elementares Problem. Wie lautet die
> Laplace-Transformierte von null?
Es ist
[mm] $\mathcal{L} \left\{f\right\}(s) =\int_{0}^{\infty} \mathrm{e}^{-st} f(t)\,\mathrm{d}t$
[/mm]
Für die Nullfunktion ergibt sich was ?
FRED
> denn die erste gleichung lautet nun ja
>
> [mm]x'_1-x_1-3x_2=0[/mm]
>
> Danke
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Ich habe nun die Lösungen ermittelt, hoffe diese sind Richtig.
[mm] X_1(t) [/mm] = [mm] \bruch{3}{24} [/mm] * [mm] e^4^t [/mm] + [mm] \bruch{3}{12} [/mm] * [mm] e^-^2^t [/mm] - [mm] \bruch{3}{8}
[/mm]
[mm] X_2(t) [/mm] = [mm] \bruch{3}{24} [/mm] * [mm] e^4^t [/mm] + [mm] \bruch{3}{12} [/mm] * [mm] e^-^2^t [/mm] - [mm] \bruch{1}{8}
[/mm]
Sind die lösungen korrekt? Mich wundert etwas die "Ähnlichkeit" der beiden Lösungen.
Vielen Dank für all die Hilfe
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Hallo likenobody,
> Ich habe nun die Lösungen ermittelt, hoffe diese sind
> Richtig.
>
> [mm]X_1(t)[/mm] = [mm]\bruch{3}{24}[/mm] * [mm]e^4^t[/mm] + [mm]\bruch{3}{12}[/mm] * [mm]e^-^2^t[/mm] -
> [mm]\bruch{3}{8}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]X_2(t)[/mm] = [mm]\bruch{3}{24}[/mm] * [mm]e^4^t[/mm] + [mm]\bruch{3}{12}[/mm] * [mm]e^-^2^t[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{8}[/mm]
>
> Sind die lösungen korrekt? Mich wundert etwas die
> "Ähnlichkeit" der beiden Lösungen.
Die zweite Lösung muss lauten:
[mm]X_2(t) = \bruch{3}{24} * e^{4t} \blue{-}\bruch{3}{12} * e^{-2t} \blue{+} \bruch{1}{8}[/mm]
>
>
> Vielen Dank für all die Hilfe
>
Gruss
MathePower
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