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| Aufgabe | [mm] f_{t}=tx+\bruch{1}{tx} [/mm] mit t aus R+
Berechnen Sie den Flächeninhalt, der vom Graphen von [mm] f_{1} [/mm] im Intervall [1;2] mit der x-Achse eingeschlossen wird, Für welchen Wert von t wird der Inhalt der Fläche minimal. |
Hi Leute,
also die Fläche für t=1 in Intervall habe ich zuerst einmal ausgerechnet wie verlangt:
[mm] \bruch{1}{2}t*x^2+\bruch{ln(x)}{t^2} [/mm] obere Grenze 2 <-> untere 1
=2,693-0,5
=2,193
Aber ich weiss nicht wie ich berechnen kann mit welchem Wert von t die Fläche unter der Kurve minimal ist? Wie geht das^^
Mfg, b33r3!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:57 Fr 15.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Blaub333r!
Dein Zahlenergebnis stimmt; allerdings machst Du einen Fehler bei der Stammfunktion.
> [mm]\bruch{1}{2}t*x^2+\bruch{ln(x)}{t^2}[/mm]
Wie kommst Du hier auf [mm] $t^{\red{2}}$ [/mm] im Nenner des 2. Bruches. $t_$ wird wie eine Konstante betrachtet und nicht verändert.
> Aber ich weiss nicht wie ich berechnen kann mit welchem
> Wert von t die Fläche unter der Kurve minimal ist?
Lasse bei der Flächenfunktion $A(t) \ = \ [mm] \left[ \ \bruch{1}{2}*t*x^2+\bruch{1}{t}*\ln(x) \ \right]_1^2$ [/mm] den Wert $t_$ stehen ... einfach nur die beiden Grenzen einsetzen.
Damit hast Du eine Funktion $A(t)_$ , die nur von der Variablen $t_$ abhängig ist. Für diese Funktion nun eine Extremwertberechnung durchführen (Nullstellen der 1. Ableitung etc.).
Gruß
Loddar
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Alles klar danke, habs soweit kapiert und mit dem t, dass hab ich übersehn, hast natürlich recht!
Ähm okay soweit so gut, was wäre denn wenn ich die maximale fläche in diesem intervall ermitteln will, ist das auch möglich?
(Is nur eine Frage von mir..also muss ich nicht berechnen)
Nur irgendwie kommt es mir vor als ob wir nur "einen" weg haben und es immer auf die kurve drauf an kommt ob man minimum oder maximun sucht!?
Grüße, b33r3
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:30 Fr 15.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Blaub333r!
> was wäre denn wenn ich die maximale fläche in diesem intervall
> ermitteln will, ist das auch möglich?
Aber genau das machen wir hier doch gerade ... schließlich setzen wir die Werte [mm] $x_1 [/mm] \ = \ 1$ und [mm] $x_2 [/mm] \ = \ 2$ als Integrationsgrenzen ein.
Gruß
Loddar
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Achso hab nochmal drüber nachgedacht und es müssten ja immer 2 werte für t raus kommen einmal, da wo es sein minimum hat und dort wo es sein maximum hat. (Je nach dem ob es sich an dieser stelle um einen hoch oder tief punkt handelt)
Gruss, b33r3
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:52 Fr 15.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Blaub333r!
> Achso hab nochmal drüber nachgedacht und es müssten ja
> immer 2 werte für t raus kommen einmal, da wo es sein
> minimum hat und dort wo es sein maximum hat.
![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]") Warum dies? Die Funktion $y \ = \ [mm] x^2$ [/mm] hat ja auch nur ein Minimum.
Du kannst höchstens noch untersuchen, ob für die Definitionsränder von $t_$ (also [mm] $t\rightarrow 0\downarrow$ [/mm] bzw. [mm] $t\rightarrow\infty$ [/mm] ) größere bzw. kleinere Werte entstehen.
Gruß
Loddar
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Okay ich versuche dir mal zuerklären warum ich so komisch mir versuche das klar zumachen, vllt findest du meinen "knackpunkt" *g*
Also sagen wir die Aufgabenstellung hätte nie gesagt, dass das minimum gesucht wäre --> sprich es wäre "offen" gewesen ob es ein maximum oder minimum der gesuchten fläche ist...Ich kann doch t so wählen das die Fläche einmal möchlichst großt wird und ein anders mal wähle ich so t dass die Fläche möglichst klein ist, und dazwischen muss ich doch "differenzieren"! Wieso gibt es in meinem Beispiel nur die möglichkeit t so zu bestimmten das ich auf das minimum komme, ich kann doch bestimmt IRGENDWIE t so bestimmten das ich für dieses t die maximale Fläche in diesem bereich bekäme?
Hm hoffe du kanns mir das irgendwie erklären wenn ich mit dieser logik auf dem holzweg bin^^
grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:53 Fr 15.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
sieh dir doch mal deine Flächenfunktion in Abh. von t an, z. Bsp. indem du sie aufzeichnest! Wie Loddar schon gesagt har, es kann eine Fkt A(t) geben, die immer weiter wächst, wenn man t vergrößert, immer weiter fällt, wenn man t verkleinert. die hätte dann weder ein Min, noch ein Max. Beispiel [mm] A(t)=2t^3+1.7t [/mm] +1.2
Oder eine Fkt A(t) die ein Min hat, aber kein Max, wie deine oder [mm] A(t)=3t^2-6t+3 [/mm] etwa
oder sie hat nur ein Max. wie [mm] A(t)=2t-t^2+1,
[/mm]
Und dann natürlich noch mehrere max und min, dann muss man das größte bzw. kleinst raussuchen.
Ich glaub, du hast nicht gesehen, dass du für jedes t ja ne andere fkt. hast, deren Flächeninhalt A(t) ist.
Gruss leduart
Gruss leduart
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Hallo Jungz!!^^
Joa, habs mir jetz ein ruhe nochmal aufgezeichnet und stelle fest, dass es also an 2 Dingen liegt
-- einmal die Umgebung die man wählt
-- und die daraus resultierende Kurve für A(t)
In meinem Fall konnte t nie einen Maximalwert haben bzw erreichen! Jedoch gab es einen Minimalwert wo die Fläche definitiv minimal auch sein musste.
Das ist die Stelle 0,679 (für t)!!
Und ein wert für t -> 0 lässt die fläche | maximieren | jedoch wird sie nie ein Maximum erreichen..
Ist das soweit in Ordnung?
gruss daniel
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Hallo Blaub33r3,
> Joa, habs mir jetz ein ruhe nochmal aufgezeichnet und
> stelle fest, dass es also an 2 Dingen liegt
> -- einmal die Umgebung die man wählt
> -- und die daraus resultierende Kurve für A(t)
[Dateianhang nicht öffentlich]
>
> In meinem Fall konnte t nie einen Maximalwert haben bzw
> erreichen! Jedoch gab es einen Minimalwert wo die Fläche
> definitiv minimal auch sein musste.
> Das ist die Stelle 0,679 (für t)!! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Und ein wert für t -> 0 lässt die fläche | maximieren |
> jedoch wird sie nie ein Maximum erreichen..
>
> Ist das soweit in Ordnung?
>
ja, deswegen wurde auch in der Aufgabe nur nach dem möglichen Minimum gefragt.
Mach dir die Aufgabe nicht unnötig schwer!
Aber du hast grundsätzlich recht, natürlich sind auch Fälle denkbar, in denen sowohl ein Maximum als auch ein Minimum möglich sind. Das erkennst du aber auch an der Fragestellung, die dann viel "offener" gestellt ist.
Gruß informix
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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