Inh. LGS-Lösung mittels Ho.LGS < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:51 Di 17.01.2006 | | Autor: | Commotus |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: Man erhält alle Lösungen eines inhomogenen linearen Gleichungssystems, indem man zu einer soeziellen Lösung dieses Systems alle Lösungen des zugehörigen homogenen Systems addiert. |
Hallo,
habe leider keinen konkreten Ansatz zur Lösung dieser Aufgabe. In der Vorlesung wurde zu diesem konkreten Abschnitt ebenfalls nicht viel gesagt. Eben nur das, was eine Lösung des linearen Gleichungssystems ist und, was eine Koeffizientenmatrix ist.
Wäre nett, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte.
Gruß,
Commotus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:05 Di 17.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo Commotus!
Es sei [mm] $x_0$ [/mm] eine spezielle Lösung des LGS $Ax=b$.
Weiterhin sei [mm] $\tilde{x}$ [/mm] eine weitere Lösung. Dann gilt:
[mm] $\tilde{x} [/mm] = [mm] x_0 [/mm] + [mm] \tilde{x} [/mm] - [mm] x_0$
[/mm]
und
[mm] $A(\tilde{x} [/mm] - [mm] x_0) [/mm] = [mm] A\tilde{x} [/mm] - [mm] Ax_0 [/mm] = b-b = 0$,
d.h. [mm] $\tilde{x} [/mm] - [mm] x_0$ [/mm] ist eine Lösung des homogenen LGS $Ax=0$ und [mm] $\tilde{x}$ [/mm] somit von der gewünschten Form.
Umgekehrt sei
[mm] $\tilde{x} [/mm] = [mm] x_0 [/mm] + u$,
wobei $u$ eine Lösung des homogenen LGS $Ax=0$ sei. Dann gilt:
[mm] $A\tilde{x} [/mm] = [mm] A(x_0 [/mm] + u ) [mm] =Ax_0 [/mm] + Au = b+0 = b$,
d.h. [mm] $\tilde{x}$ [/mm] ist eine Lösung des inhomogenen LGS $Ax=b$.
Damit ist alles gezeigt.
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:29 Di 17.01.2006 | | Autor: | Commotus |
Vielen Dank für die ausführliche Lösung!
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