Infimum berechnen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:24 So 06.12.2015 | | Autor: | Voxxy |
| Aufgabe | Berechnen Sie das folgende Infimum
[mm] \inf_{r >0} (\bruch{2}{r}a+ [/mm] rb) |
Hallo,
mir fehlt gerade der Ansatz für diese Aufgabe.
Also die Definition vom Infimum ist ja, wenn wir nun eine Menge A betrachten, dann ist s das Infimum von A, wenn:
[mm] \forall \epsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] A: [mm] s+\epsilon [/mm] > x.
Nur wie ich damit nun rechne weiß ich leider nicht genau. Habe mir schon Beispiel zu Intervallen angeschaut, aber die bringen mich nicht weiter.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:43 So 06.12.2015 | | Autor: | chrisno |
Hast Du eine Idee, welchen Wert das Infimum hat? Suche das Minimum.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 So 06.12.2015 | | Autor: | Voxxy |
Also ich würde da eine Fallunterscheidung machen. Für a=b=0 wäre das Infimum ja 0.
Für a=0 und b ungleich 0 müsste ich mir nur den hinteren Summanden anschauen. Da würde ich aber nun kein Minimum finden. Bzw. könnte nun so konkret irgendwie keines benennen. Für mich wäre das dann sowas wie: [mm] \inf_{r>0} [/mm] (rb) = [mm] \epsilon [/mm] b für [mm] \epsilon [/mm] >0 minimal.
Und analog dann halt b=0 und a ungleich 0.
Sowie beide ungleich 0.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:31 So 06.12.2015 | | Autor: | Voxxy |
Also ich mache dann folgende Fallunterscheidung:
1.Fall: a=0=b [mm] \wedge [/mm] a=0 b>0 [mm] \wedge [/mm] b=0 a>0
[mm] \inf_{r>0} (\frac{2}{r}a+rb) [/mm] = 0, da ich die jeweiligen Summanden beliebig klein an 0 annähern kann.
2.Fall: a<0, b<0 [mm] \wedge [/mm] a=0 b<0 [mm] \wedge [/mm] b=0 a<0
Hier müsste das Infimum [mm] -\infty [/mm] sein, da ich ja beliebig klein werden kann. Mit r>0 und a,b < 0 sind die Summanden ja immer negativ und wenn ich dann nach dem kleinsten Wert suche, kann ich ja ins unendliche gehen.
3.Fall: a>0 b>0
Bei diesem Fall bin ich mir noch unsicher. Eigentlich würde ich wieder wie im 1.Fall argumentieren und dann die einzelnen Summanden betrachten und diese dann jeweils wieder an 0 anschmiegen. Dann wäre das nfimum hier auch wieder 0.
Ich weiß das ist noch nicht so wirklich formal... Hast du evtl. noch nen Tipp zum 3. Fall?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:25 So 06.12.2015 | | Autor: | chrisno |
> Also ich mache dann folgende Fallunterscheidung:
> 1.Fall: a=0=b [mm]\wedge[/mm] a=0 b>0 [mm]\wedge[/mm] b=0 a>0
Du meinst sicher etwas anderes, als Du geschrieben hast.
> [mm]\inf_{r>0} (\frac{2}{r}a+rb)[/mm] = 0, da ich die jeweiligen
> Summanden beliebig klein an 0 annähern kann.
klein?
>
> 2.Fall: a<0, b<0 [mm]\wedge[/mm] a=0 b<0 [mm]\wedge[/mm] b=0 a<0
Auch hier ist [mm]\wedge[/mm] falsch
> Hier müsste das Infimum [mm]-\infty[/mm] sein,
Ist das bei Euch eine erlaubte Ausdrucksweise?
Ich hätte gesagt: es gibt kein Infimum
> da ich ja beliebig
> klein werden kann. Mit r>0 und a,b < 0 sind die Summanden
> ja immer negativ und wenn ich dann nach dem kleinsten Wert
> suche, kann ich ja ins unendliche gehen.
>
> 3.Fall: a>0 b>0
> Bei diesem Fall bin ich mir noch unsicher. Eigentlich
> würde ich wieder wie im 1.Fall argumentieren und dann die
> einzelnen Summanden betrachten und diese dann jeweils
> wieder an 0 anschmiegen. Dann wäre das nfimum hier auch
> wieder 0.
das ist falsch. Wie sucht man nach einem Minimum? (Ableiten, ....)
>
> Ich weiß das ist noch nicht so wirklich formal
Ich hätte so etwas mit Null Punkten zurück bekommen.
> ... Hast du evtl. noch nen Tipp zum 3. Fall?
s.o.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 05:51 Mo 07.12.2015 | | Autor: | Voxxy |
Entschuldigung, falsche Quantoren benutzt.
Also mit deinem Hinweisen hab ich nun folgendes Ergebnis:
1.Fall:(b=0 [mm] \wedge [/mm] a=0) [mm] \vee [/mm] (a=0 [mm] \wedge [/mm] b>0) [mm] \vee [/mm] (b=0 [mm] \wedge \a>0)
[/mm]
Hier ist [mm] \inf_{r>0} (\frac{2}{r}a+rb)= [/mm] 0
2.Fall:(b>0 [mm] \wedge [/mm] a>0)
Hier hab ich nun nach deinem Tipp [mm] \inf_{r>0} (\frac{2}{r}a+rb)= 2\sqrt{2}\sqrt{ab}
[/mm]
3.Fall: sonst
Entweder gibt es hier kein Infimum oder es ist [mm] -\infty. [/mm] Da muss ich noch in der Vorlesung schauen ob wir da konkret was stehen haben wie wir das handhaben.
Sind die Ergebnisse erstmal so richtig?
Ichführ das später nochmal formal aus. Besten Dank schon einmal.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:31 Mo 07.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> Entschuldigung, falsche Quantoren benutzt.
> Also mit deinem Hinweisen hab ich nun folgendes Ergebnis:
>
> 1.Fall:(b=0 [mm]\wedge[/mm] a=0) [mm]\vee[/mm] (a=0 [mm]\wedge[/mm] b>0) [mm]\vee[/mm] (b=0
> [mm]\wedge \a>0)[/mm]
> Hier ist [mm]\inf_{r>0} (\frac{2}{r}a+rb)=[/mm] 0
O.K.
>
> 2.Fall:(b>0 [mm]\wedge[/mm] a>0)
> Hier hab ich nun nach deinem Tipp [mm]\inf_{r>0} (\frac{2}{r}a+rb)= 2\sqrt{2}\sqrt{ab}[/mm]
Da bekomme ich allerdings [mm]\inf_{r>0} (\frac{2}{r}a+rb)= 3}\sqrt{ab}[/mm]
>
> 3.Fall: sonst
> Entweder gibt es hier kein Infimum oder es ist [mm]-\infty.[/mm]
O.K.
FRED
> Da
> muss ich noch in der Vorlesung schauen ob wir da konkret
> was stehen haben wie wir das handhaben.
>
> Sind die Ergebnisse erstmal so richtig?
> Ichführ das später nochmal formal aus. Besten Dank schon
> einmal.
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
