Inf, Sup, Min & Max < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:49 Do 09.10.2008 | | Autor: | SirSmoke |
| Aufgabe | Bestimme gegebenfalls Infimum, Supremum, Minimum und Maximum folgender Punktmengen reeler Zahlen
[mm] M_{1}:=\{x | x \in Q und 0
[mm] M_{2}:=\{\bruch{n}{n^2+1} | n \in N\} \cup \{\bruch{n^2}{n+1} | n \in N\} [/mm]
[mm] M_{3}:=\{x^2-1 | -1 |
Hallo!
Wie beweise ich dies denn nun?
Ich weiß, dass inf, sup [mm] \not\in [/mm] M und min, max [mm] \in [/mm] M ...
heißt das bei [mm] M_{1}, [/mm] dass das Infimum 0 und das Supremum 1 ist?
heißt das bei [mm] M_{3}, [/mm] dass Infimum -1 und das Supremum 1 ist?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:58 Do 09.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> Bestimme gegebenfalls Infimum, Supremum, Minimum und
> Maximum folgender Punktmengen reeler Zahlen
>
> [mm]M_{1}:=\{x | x \in Q und 0
>
> [mm]M_{2}:=\{\bruch{n}{n^2+1} | n \in N\} \cup \{\bruch{n^2}{n+1} | n \in N\}[/mm]
>
> [mm]M_{3}:=\{x^2-1 | -1
> Hallo!
> Wie beweise ich dies denn nun?
> Ich weiß, dass inf, sup [mm]\not\in[/mm] M und min, max [mm]\in[/mm] M
Moment, Moment!
Zu den Begriffen: das Supremum (Infimum) ist die kleinste (größte) obere (untere) Schranke einer Menge, kann zur Menge gehören, muß aber nicht. Falls es zur Menge gehört, nennt man es das Maximum (Minimum) der Menge.
...
>
> heißt das bei [mm]M_{1},[/mm] dass das Infimum 0 und das Supremum 1
> ist?
Richtig !
> heißt das bei [mm]M_{3},[/mm] dass Infimum -1 und das Supremum 1
> ist?
Falsch ! Zeichne Dir doch mal die Parabel [mm] x^2 [/mm] -1 im Intervall (-1,1). Dann siehst Du: [mm] infM_{3} [/mm] = -1, [mm] supM_{3} [/mm] = 0.
FRED
>
> Vielen Dank!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:03 Do 09.10.2008 | | Autor: | SirSmoke |
Das heißt [mm] M_{1} [/mm] hat kein Maximum noch ein Minimum, da das Inf und Sup außerhalb der Menge liegen?
Nur wie berechne ich nun diese Schranken? Ich glaub nicht, dass es reicht, wenn ich einfach nur Schaubilder male ^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:16 Do 09.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> Das heißt [mm]M_{1}[/mm] hat kein Maximum noch ein Minimum, da das
> Inf und Sup außerhalb der Menge liegen?
Ja
>
> Nur wie berechne ich nun diese Schranken? Ich glaub nicht,
> dass es reicht, wenn ich einfach nur Schaubilder male ^^
Zu [mm] M_3:
[/mm]
-1<x<1 [mm] \Rightarrow [/mm] 0 [mm] \le x^2 [/mm] <1 [mm] \Rightarrow [/mm] -1 [mm] \le x^2-1 [/mm] <0
Jetzt siehst Du, dass -1 eine Untere und 0 eine obere Schranke von [mm] M_3 [/mm] ist.
Für x=0 ist [mm] x^2-1 [/mm] = -1, also ist -1 = [mm] infM_3 [/mm] = [mm] minM_3.
[/mm]
Jetzt versuche mal zu beweisen, dass 0 die kleinste obere Schranke von [mm] M_3 [/mm] ist
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:29 Do 09.10.2008 | | Autor: | SirSmoke |
Für das Supremum/Maximum:
[mm] 0\le x^2 \le [/mm] 1 [mm] \Rightarrow [/mm] 0 [mm] \le x^2-1 \le [/mm] 1
Für x=1 ist [mm] x^2-1=0 \Rightarrow 0=supM_{3}=maxM_{3} [/mm]
Wie funktioniert das Beweisen bei [mm] M_{2}, [/mm] da komme ich bisher gar nicht dahinter :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:48 Do 09.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
$ [mm] M_{2}:=\{\bruch{n}{n^2+1} | n \in N\} \cup \{\bruch{n^2}{n+1} | n \in N\} [/mm] $
Fasse die Menge mal als "Funktion" von [mm] n\in\IN [/mm] auf.
Also untersuche mal [mm] g(n)=\bruch{n}{n²+1} [/mm] sowie [mm] h(n)=\bruch{n²}{n+1} [/mm] getrennt voneinander jeweils auf Maxima/Minima.
Also g'(n)=0 und g''(n)>(<)0 für Minima(Maxima) von g und analoges dann für h.
Dann hast du schonmal "Kandidaten" für Infima/Minima bzw. Suprema/Maxima. der Teilmengen. Dann überlege mal, was bei der Vereinigung passiert.
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:00 Do 09.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> Für das Supremum/Maximum:
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> [mm]0\le x^2 \le[/mm] 1 [mm]\Rightarrow[/mm] 0 [mm]\le x^2-1 \le[/mm] 1
> Für x=1 ist [mm]x^2-1=0 \Rightarrow 0=supM_{3}=maxM_{3}[/mm]
Nein !! Bei [mm] M_3 [/mm] läuft x "nur" im Intervall (-1,1) (also ist x=1 nicht "zulässig"). Daher:
[mm] 0=supM_{3} [/mm] und [mm] M_3 [/mm] hat kein Maximum.
FRED
>
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> Wie funktioniert das Beweisen bei [mm]M_{2},[/mm] da komme ich
> bisher gar nicht dahinter :(
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