Induktiver beweis m. Fibonacci < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:41 Fr 19.05.2006 | | Autor: | Funzi |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k}F_k=F_{2n} [/mm] |
Diese Aufgabe stammt aus WGMS IV. Ich habe mich an dem induktiven Beweis über n versucht. [mm] F_n [/mm] bezeichnet die Fibonacci-Zahl, wobei [mm] F_0=1 [/mm] und [mm] F_1=1 [/mm] (wir beginnen also bei 0)
Hier mein Ansatz:
[mm] \summe_{k=0}^{n+1} \vektor{n+1 \\ k}F_k=F_{2(n+1)}
[/mm]
[mm] \gdw \summe_{k=0}^{n}(\vektor{n+1 \\ k}F_k) [/mm] + [mm] \vektor{n+1 \\ n+1}F_{n+1}=F_{2(n+1)}
[/mm]
[mm] \gdw \summe_{k=0}^{n}(\vektor{n+1 \\ k}F_k) [/mm] + [mm] F_{n+1}=F_{2(n+1)}
[/mm]
[mm] \gdw \summe_{k=0}^{n}(\vektor{n \\ k-1}F_k [/mm] + [mm] \vektor{n \\ k+}F_k) [/mm] + [mm] F_{n+1}=F_{2(n+1)}
[/mm]
[mm] \gdw \summe_{k=0}^{n}(\vektor{n \\ k-1}F_k) [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{n}(\vektor{n \\ k}F_k) [/mm] + [mm] F_{n+1}=F_{2(n+1)}
[/mm]
(IA) [mm] \gdw \summe_{k=0}^{n}(\vektor{n \\ k-1}F_k) [/mm] + [mm] F_{2n} [/mm] + [mm] F_{n+1}=F_{2(n+1)}
[/mm]
Ich habe dann noch viel rumprobiert, aber ich bekomme die Summe nicht weg. Darüber hinaus haben wir auch noch keine Rechenregeln für die Fibonacci-Zahlen an der Hand. Bei Wikipedia sind ja einige aufgezählt, die man sicher gut verwenden kann, wenn erst mal alle Summenzeichen eliminiert sind. Kann mir von euch irgendjemand den rettenden Tipp geben?
Danke schon mal
Funzi
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:48 Sa 20.05.2006 | | Autor: | steff12 |
Hallo,
versuche doch einfach mal, folgende allgemeinere Aussage per Induktion nach n zu beweisen:
Für alle n und m [mm] \in \IN_0 [/mm] gilt:
[mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n\\k} F_{k+m} [/mm] = [mm] F_{2n+m}
[/mm]
Das geht genau wie Du das versucht hast, passe allerdings mit dem Summanden zu k=0 auf...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:48 Sa 20.05.2006 | | Autor: | Funzi |
Mit diesem Kniff konnte ich es dann sehr gut lösen.
Vielen Dank!
Funzi
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