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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:25 Sa 12.02.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | 1. Für die durch [mm] $\{0, 1, ..., p + 1\} [/mm] = [mm] \{0, 1, ..., p\} \cup \{p + 1\}$ [/mm] induktiv definierten Teilmengen von N zeige
[mm] $\{0, 1, ..., p\} [/mm] = [mm] \{q \in N | q \le p\} [/mm] .$
2. Sei K ein angeordneter Körper.Seien $a,b,λ [mm] \in [/mm] K $ und [mm] $\lambda [/mm] >0$ .
Beweise [mm] $2ab\le \lambda^{2}a^{2}+\frac{b^{2}}{\lambda^{2}}$. [/mm] |
Hallo,
1. Muss ich hier zwei Dinge zeigen: dass eine Menge ein grösstes Element p besitzt und dass q innerhalb dieser Menge liegt, wäre das richtig?
2. für $b<0 [mm] \wedge [/mm] a>0$ [mm] $\vee$ [/mm] $b>0 [mm] \wedge [/mm] a<0$ stimmt die Ungleichung immer.
1.1 [mm] $0<\lambda<1$, [/mm] $b>0, a>0$ und $b<0, a<0$:
[mm] $a^{2}\lambda^{2}$ [/mm] wegschätzen
[mm] $\Rightarrow 0\le -2ab+\frac{b^{2}}{\lambda^{2}}$
[/mm]
$ [mm] \Rightarrow \frac{b^{2}}{\lambda^{2}}(1-\frac{2a\lambda^{2}}{b})$
[/mm]
1.2 [mm] $1<\lambda<\infty$ [/mm] , $b>0, a>0$ und $b<0, a<0$:
[mm] $\frac{b^{2}}{\lambda^{2}}$ [/mm] wegschätzen
[mm] $\Rightarrow 0\le -2ab+\lambda^{2}a^{2}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] 0 [mm] \le \lambda^{2}a^{2}(1-\frac{2b}{\lambda^{2} a})$
[/mm]
Wie komme ich weiter? (Wenn das überhaupt der richtige Weg ist?)
Ich habe diese Fragen in keinem anderen Forum gestellt.
Danke
kushkush
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> 1. Für die durch [mm]\{0, 1, ..., p + 1\} = \{0, 1, ..., p\} \cup \{p + 1\}[/mm]
> induktiv definierten Teilmengen von N zeige
> [mm]\{0, 1, ..., p\} = \{q \in N | q \le p\} .[/mm]
>
> 2. Sei K ein angeordneter Körper.Seien [mm]a,b,λ \in K[/mm] und
> [mm]\lambda >0[/mm] .
> Beweise [mm]2ab\le \lambda^{2}a^{2}+\frac{b^{2}}{\lambda^{2}}[/mm].
>
> Hallo,
>
>
Moin kushkush,
> 1. Muss ich hier zwei Dinge zeigen: dass eine Menge ein
> grösstes Element p besitzt und dass q innerhalb dieser
> Menge liegt, wäre das richtig?
Hier müsstest du erst einmal angeben, womit du es zeigen willst. Peano Axiome?
zu 2) Warum so kompliziert?
$ [mm] 2ab\le \lambda^{2}a^{2}+\frac{b^{2}}{\lambda^{2}} $\gdw
[/mm]
$ [mm] 0\le \lambda^{4}a^{2}-2\lambda^2ab+b^{2} $\gdw
[/mm]
[mm] $0\leq (a\lambda^2-b)^2$
[/mm]
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 So 13.02.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo kamaleonti,
>> Peano Axiome?
Ich verstehe nicht wie mir diese hier helfen. Wenn alle Elemente der Teilmengen diese erfüllen dann wäre gezeigt dass alle Elemente natürliche Zahlen sind, oder?
>> zu 2) Warum so kompliziert?
Dankeschön!
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:00 Mo 14.02.2011 | | Autor: | felixf |
Moin kushkush
Interessant, was man auf der Weihnachtsinsel bereits alles in der Grundschule macht...
> >> Peano Axiome?
> Ich verstehe nicht wie mir diese hier helfen. Wenn alle
> Elemente der Teilmengen diese erfüllen dann wäre gezeigt
> dass alle Elemente natürliche Zahlen sind, oder?
Wie habt ihr die natuerlichen Zahlen definiert? Als Schnitt ueber alle induktiven Mengen?
Ihr habt doch sicher schonmal gezeigt, dass es keine natuerliche Zahl $n$ mit $0 < n < 1$ gibt, oder? Das ist eine Zutat, die du brauchst.
Zeige zuerst [mm] "$\subseteq$". [/mm] Das ist sehr einfach.
Schwieriger ist die andere Inklusion, [mm] "$\supseteq$". [/mm] Nimm dazu ein $n [mm] \in [/mm] N$ mit $n [mm] \le [/mm] p$ und nimm an $n [mm] \not\in \{ 0, 1, 2, \dots, p \}$. [/mm] Jetzt gilt $0 < 1 < 2 < 3 < [mm] \dots [/mm] < p$, womit du eine der folgenden Moeglichkeiten hast:
* es gilt $n < 0$. Zeige, dass dann $n [mm] \not\in [/mm] N$ gilt.
* es gilt $n > p$. Dies ist ein Widerspruch zur Voraussetzung $n [mm] \le [/mm] p$.
* es gibt $i [mm] \in \{ 0, 1, \dots, p - 1 \}$ [/mm] mit $i < n < i + 1$. Führe dies zu einem Widerspruch.
LG Felix
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Hallo Felix,
1.
bezeichne S(n) den Nachfolger einer natürlichen Zahl n
i) zu zeigen [mm] $\forall [/mm] q,p [mm] \in [/mm] N \ \ \ [mm] \{ 0,1,2... ,p\} \subseteq \{ q \in N | q \le p \}$ [/mm] :
$n [mm] \in [/mm] N, n [mm] \le [/mm] p , n [mm] \in \{0,1..,p\} \Rightarrow [/mm] n [mm] \in \{ q \in N | q\le p\} [/mm] \ \ [mm] \forall [/mm] n,p,q [mm] \in [/mm] N [mm] \Rightarrow \{0,1,2...,p\} \subseteq \{q \in N | q \le p\} [/mm] $
ii) zu zeigen [mm] $\forall [/mm] n,p,q [mm] \in [/mm] N$ ist [mm] $\{q \in N | q \le p\} \subseteq \{1,2,...,p\}:$
[/mm]
sei $n [mm] \le [/mm] p [mm] \in [/mm] N , [mm] n\notin \{1,2,...,p\}$, [/mm] mit $1<....<p$ für $n<0$ ist $S(n) [mm] \le [/mm] 0 [mm] \notin [/mm] N [mm] \Rightarrow [/mm] n [mm] \notin [/mm] N $; es gilt $n>p$: Widerspruch zur Voraussetzung; [mm] $\exists [/mm] i [mm] \in \{ 0,1,...,p-1\}: [/mm] i< n < i+1 $ mit $i=p-1$ folgt $n<p$ was ein Widerspruch zur Voraussetzung [mm] $n\le [/mm] p$ ist . Damit ist [mm] $n\in \{1,2,...,p\}$ [/mm] und es gilt [mm] $\{q \in N | q \le p \} \subseteq \{1,2,...,p\}$
[/mm]
mit i) und ii) folgt die Behauptung.
Stimmt das sO?
Danke und Gruss
kushkush
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:20 Sa 30.07.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:15 Sa 30.07.2011 | | Autor: | kushkush |
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