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Induktionsproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:32 Do 17.11.2005
Autor: DarkSea

Hi. Ich habe bei einem Induktionsbeweis Probleme.
Ich soll zeigen:

[mm] (\summe_{j=1}^{n}a_{j}) [/mm] * [mm] (\summe_{j=1}^{n}1/a_{j}) \ge n^{2} [/mm]

Den Induktionsanfang hab ich, nun kommt der Induktionsschritt. Ich guck mir die linke Seite an:

[mm] (\summe_{j=1}^{n}a_{j} [/mm] + [mm] a_{n+1}) [/mm] * [mm] (\summe_{j=1}^{n}1/a_{j} [/mm] + [mm] 1/a_{n+1}) [/mm]
= [mm] (\summe_{j=1}^{n}a_{j}) [/mm] * [mm] (\summe_{j=1}^{n}1/a_{j}) [/mm] + [mm] a_{n+1} [/mm] * [mm] (\summe_{j=1}^{n}1/a_{j}) [/mm] + [mm] 1/a_{n+1} [/mm] * [mm] (\summe_{j=1}^{n}a_{j}) [/mm] + 1

[mm] \ge n^{2} [/mm] + [mm] a_{n+1} [/mm] * [mm] (\summe_{j=1}^{n}1/a_{j}) [/mm] + [mm] 1/a_{n+1} [/mm] * [mm] (\summe_{j=1}^{n}a_{j}) [/mm] + 1

und haben auf der rechten seite will ich ja:  [mm] n^{2} [/mm] + 2n + 1       bis auf den mittleren Term sieht das ja schon ähnlich aus, aber da komme ich jetzt nicht weiter... wir sollen wohl irgendwie die allgemeine Formel a/b + b/a [mm] \ge [/mm] 2 benutzen, aber da komm ich irgendwie nicht hin.. kann mir jemand helfen ?

Grüße

        
Bezug
Induktionsproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:37 Do 17.11.2005
Autor: saxneat

Moin DarkSea!

Als erstes zieh doch die Faktoren in die Summe rein.
Dann die Summen zusammenfassen
Führt zu:

[mm] \summe_{j=1}^{n}(\bruch{a_{n+1}}{a_{j}}+\bruch{a_{j}}{a_{n+1}}) [/mm]

nun den Hinweis benutzen:

[mm] \summe_{j=1}^{n}(\bruch{a_{n+1}}{a_{j}}+\bruch{a_{j}}{a_{n+1}})\ge\summe_{j=1}^{n}2=2n [/mm]

und damit wärst du schon fertig

MfG
saxneat

Bezug
                
Bezug
Induktionsproblem: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:37 Do 17.11.2005
Autor: DarkSea

ahh bin ich blöd :)

danke schön !

Bezug
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