Induktionsbeweis über ungleich < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:12 Mi 16.05.2012 | | Autor: | gene |
| Aufgabe | | Man zeige, dass für alle n element N/{2}gilt: 3n [mm] <=2^n [/mm] + 1. |
Moin Moin
Die augabe habe ich versuch zu machen aber ich weiß nicht wie das weiter geht .
beweis:wir führen Induktion üner n .
IA)n=3 .es gilt [mm] 3n=3*3=9=2^3+1=2^n+1.
[/mm]
IS) sei n >3 und es gelte [mm] 3n<=(2^n)+1 [/mm]
es zu zeigen 3(n-1)<=2^(n-1)+1
da sehen wir so ein :
3n=3(n-1)+3<=2^(n-1)+1+3 und jetzt wie gehe ich weiter .
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
danke im voraus
LG
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> Man zeige, dass für alle n element N/{2}gilt: 3n [mm]<=2^n[/mm] + 1.
> Moin Moin
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> beweis:wir führen Induktion üner n .
>
> IA)n=3 .es gilt [mm]3n=3*3=9=2^3+1=2^n+1.[/mm]
Ich würde der Vollständigkeit halber auch noch vorrechnen, daß die Aussage für n=1 gilt.
> IS) sei n >3 und es gelte [mm]3n<=(2^n)+1[/mm] .
Das ist die Induktionsannahme: wir nehmen an, daß die Aussage für ein n gilt und zeigen, daß sie dann auch für die darauffolgende Zahl gilt.
> es zu zeigen 3(n-1)<=2^(n-1)+1
Nein. Es ist nun zu zeigen, daß die Aussage unter der gemachten Voraussetzung auch für n+1 gilt, daß also [mm] 3(n+1)\le 2^{n+1}+1 [/mm] richtig ist.
Beweis:
3(n+1)= 3n +3
[mm] \le (2^n+1) [/mm] +3 (mit Induktionsvoraussetzung)
[mm] =...\le... =...\le [/mm] ...= [mm] 2^{n+1}+1
[/mm]
Du mußt also eine Ungleichungskette entwickeln, an deren Ende [mm] 2^{n+1}+1 [/mm] steht.
Tip: [mm] 3<2^n
[/mm]
LG Angela
> da sehen wir so ein :
> 3n=3(n-1)+3<=2^(n-1)+1+3 und jetzt wie gehe ich weiter .
> ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> danke im voraus
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 Mi 16.05.2012 | | Autor: | gene |
Danke Angela das heiß ich kann die beweis so machen
[mm] 3(n+1)=3n+1<=2^n+1+3 [/mm] mit [mm] 3<2^n [/mm] kann ich das so schreiben
<= [mm] 2^n+2^n+1=2*2^n+1=2^{n+1}+1
[/mm]
aber wenn ich das Induktionsanfang mit 1 berechnen dann gilt diese Aussage nicht mehr [mm] 3<2^n
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:20 Mi 16.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Danke Angela das heiß ich kann die beweis so machen
> [mm]3(n+1)=3n+1<=2^n+1+3[/mm] mit [mm]3<2^n[/mm] kann ich das so schreiben
> <= [mm]2^n+2^n+1=2*2^n+1=2^{n+1}+1[/mm]
Ja, wobei die Induktionsvor. so lautet: sei n [mm] \in \IN, [/mm] n [mm] \ge [/mm] 3 und 3n [mm] \le 2^n+1
[/mm]
> aber wenn ich das Induktionsanfang mit 1 berechnen dann
> gilt diese Aussage nicht mehr [mm]3<2^n[/mm]
Ein Induktionsbeweis mit Induktionsanfang n=1 kann nicht funktionieren, denn die Ungleichung ist für n=2 falsch.
Was Angela meinte: zeige direkt, dass die Ungl. für n=1 richtig ist.
Den Induktionsanfang machst Du dann mit n=3.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:26 Mi 16.05.2012 | | Autor: | gene |
Ok Danke
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