Induktionsbeweis rekurs. Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei eine Folge [mm] ${a_n}$ [/mm] rekursiv durch [mm] $a_n=\frac{1}{2}(a_{n-1}+a_{n-2})$ [/mm] für [mm] $n\ge3$ [/mm] definiert. Die ersten Glieder sind [mm] $a_1=0,\ a_2=1$. [/mm] Beweisen Sie, dass [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}{a_n}=\frac{2}{3}$ [/mm] ist.
Hinweis: Beweisen Sie zunächst mit vollständiger Induktion, dass [mm] $a_n-\frac{2}{3}=(-\frac{2}{3})\cdot(-\frac{1}{2})^{n-1}$ [/mm] gilt. |
Was ich bisher gemacht habe:
IV: [mm] $\frac{1}{2}(a_{n-1}+a_{n-2})$
[/mm]
IA für $n=3$: [mm] $a_3=\frac{1}{2}(a_{3-1}+a_{3-2})=\frac{1}{2}(a_2+a_1)=\frac{1}{2}(1+0)=\frac{1}{2}=\frac{2}{3}(1-(-\frac{1}{2})^2)$
[/mm]
IS: [mm] $a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_{(n+1)-1}+a_{(n+1)-2})=\frac{1}{2}(a_{n}+a_{n-1})=\frac{1}{2}((IV)+a_{n-1})=\frac{1}{2}((\frac{1}{2}(a_{n-1}+a_{n-2}))+a_{n-1})$
[/mm]
Aber jetzt weiß ich leider nicht mehr wie ich weiter machen soll. Kann mir jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:34 Sa 07.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei eine Folge [mm]{a_n}[/mm] rekursiv durch
> [mm]a_n=\frac{1}{2}(a_{n-1}+a_{n-2})[/mm] für [mm]n\ge3[/mm] definiert. Die
> ersten Glieder sind [mm]a_1=0,\ a_2=1[/mm]. Beweisen Sie, dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}{a_n}=\frac{2}{3}[/mm] ist.
>
> Hinweis: Beweisen Sie zunächst mit vollständiger
> Induktion, dass
> [mm]a_n-\frac{2}{3}=(-\frac{2}{3})\cdot(-\frac{1}{2})^{n-1}[/mm]
> gilt.
> Was ich bisher gemacht habe:
>
> IV: [mm]\frac{1}{2}(a_{n-1}+a_{n-2})[/mm]
Das ist nicht die IV. Sondern
für ein n [mm] \in \IN [/mm] gelte: [mm] a_n-\frac{2}{3}=(-\frac{2}{3})\cdot(-\frac{1}{2})^{n-1}
[/mm]
>
> IA für [mm]n=3[/mm]:
> [mm]a_3=\frac{1}{2}(a_{3-1}+a_{3-2})=\frac{1}{2}(a_2+a_1)=\frac{1}{2}(1+0)=\frac{1}{2}=\frac{2}{3}(1-(-\frac{1}{2})^2)[/mm]
??? Prüfe nach ob
[mm] a_n-\frac{2}{3}=(-\frac{2}{3})\cdot(-\frac{1}{2})^{n-1}
[/mm]
für n=3 richtig ist
Der IA kommt vor der IV !!
>
> IS:
> [mm]a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_{(n+1)-1}+a_{(n+1)-2})=\frac{1}{2}(a_{n}+a_{n-1})=\frac{1}{2}((IV)+a_{n-1})=\frac{1}{2}((\frac{1}{2}(a_{n-1}+a_{n-2}))+a_{n-1})[/mm]
Mach das nochmal mit der richtigen IV.
FRED
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> Aber jetzt weiß ich leider nicht mehr wie ich weiter
> machen soll. Kann mir jemand helfen?
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Danke für deine Antwort!
Hier also nochmals der richtige IA für $n=3$:
[mm] $a_{3}-\frac{2}{3}=(-\frac{2}{3})\cdot(-\frac{1}{2})^{2}\Leftrightarrow\frac{1}{2}-\frac{2}{3}=(-\frac{2}{3})\cdot(-\frac{1}{2})^{2}\Leftrightarrow-\frac{1}{6}=-\frac{1}{6}$
[/mm]
Die IV ist somit:
[mm] $a_{n}-\frac{2}{3}=(-\frac{2}{3})\cdot(-\frac{1}{2})^{n-1}$
[/mm]
Das nun eingesetzt in meinen IS aus dem ersten Post ergibt:
[mm] $a_{n+1}=\frac{1}{2}(((-\frac{2}{3})\cdot(-\frac{1}{2})^{n-1}+\frac{2}{3})+a_{n-1})$
[/mm]
Aber wie geht es jetzt weiter? Was mach ich mit dem übrig gebliebenen [mm] $a_{n-1}$?
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Sa 07.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst den Induktionsanfang für 2 aufeinanderfolgende glieder 2 und 3 oder 3 und 4 zeigen, dann ind. vor richtig für n UND n-1
dann [mm] a_n [/mm] und a:{n-1} einsetzen.
Gruss leduart
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