Induktionsbeweis komplexe Zahl < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:12 Mi 14.05.2008 | | Autor: | SEiCON |
| Aufgabe | Zz.:
( (3 + 4i) / 5 ) ^ n > 0 [mm] \forall [/mm] n [mm] \in [/mm] |N |
Hallo,
mein Ansatz:
Induktionsverankerung n=0 ist ok, da 1 > 0
Induktionsvorraussetzung :
( (3 + 4i) / 5 ) ^ n > 0 [mm] \forall [/mm] n [mm] \in [/mm] |N
Induktionsschritt: n --> n+1
((3 + 4i) / 5) ^ (n+1) > 0
<=> ( ((3 + 4i) / 5 ) ^ n ) * ((3 + 4i) / 5 ) > 0
mit Indunktionsvorraussetzung:
( ((3 + 4i) / 5 ) ^ n ) > 0 und
((3 + 4i) / 5 ) > 0
=> ((3 + 4i) / 5) ^ (n+1) > 0
Kann ich das so beweisen ??? Danke für eure Hilfe :o)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:25 Mi 14.05.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> ( (3 + 4i) / 5 ) ^ n > 0 [mm]\forall[/mm] n [mm]\in[/mm] |N
Ist das wirklich die Behauptung? Woher stammt sie? Bei den komplexen Zahlen gibt es kein 'größer' und 'kleiner', man kann sie nicht anordnen. Oder ist die Aufgabe eine Falle?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Mi 14.05.2008 | | Autor: | SEiCON |
Ups da ist mir ein Fehler unterlaufen =)
Betragsstriche vergessen
|( (3 + 4i) / 5 ) ^ n | > 0 $ [mm] \forall [/mm] $ n $ [mm] \in [/mm] $ |N
---------------------------------------------------------------------------
Ich möchte insgesamt zeigen, dass
Xn = ( (3 + 4i) / 5 ) ^ n das Cauchy-Kriterium nicht erfüllt, da schon
| Xn - Xn+1 | keine Nullfolge ist
Grüße !
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:46 Mi 14.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo SEiCON!
Dann kommst Du auch ohne Induktion aus:
[mm] $$\left|\left(\bruch{3+4i}{5}\right)^n\right| [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{5^n}*\left|3+4i\right|^n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{5^n}*\left( \ \wurzel{3^2+4^2} \ \right)^n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{5^n}*5^n [/mm] \ = \ 1 \ > \ 0$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Mi 14.05.2008 | | Autor: | SEiCON |
Danke dir :)
Manchmal sieht man vor lauter Bäumen den Wald nicht mehr ^^
(wäre mein Ansatz über Induktion - bis auf die formalen Mängel wie von Fred schon angemerkt - denn richtig gewesen (nur für die Zukunft)?)
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Mir ist gerade noch etwas aufgefallen :
Ich möchte ja zeigen, dass| Xn - Xn+1 | keine Nullfolge ist
Mit | Xn - Xn+1 | <= |Xn| + |Xn+1| = 2 (n --> [mm] \infty) [/mm] kann ich das ja nicht abschätzen ... wie mache ich das am besten ??
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:31 Mi 14.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
mit dem Cauchy-Kriterium geht das so schlecht, aber alle deine [mm] x_n [/mm] haben den Betrag 1. hilft dir das ? sonst schreib es als [mm] 1*e^{i*n*\phi}und [/mm] bilde die Differenz.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 Mi 14.05.2008 | | Autor: | SEiCON |
das alle Xn den Betrag ein haben hilft mir ja nicht unbedingt weiter oder ?
Für die folge Xn = 1 + 0i trifft das ja auch zu und diese ist die konstante Folge mit dem Wert 1.
Ich kann mir schon vorstellen, dass alle Folgeglieder auf dem Einheitskreis liegen ... wie jedoch beweise ich das Formal ??
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 Mi 14.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dass alle Betrag 1 haben hat dir ja Loddar gezeigt, dass die Differenz also immer gleich ist, solltest du sehen, wenn du x1,x2,x3 mal aufzeichnest. in der Form in der ichs dir aufgeschrieben habe ist das auch rechnerisch zu [mm] zeigen.(e^{n*i*\phi} [/mm] ausklammern!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Mi 14.05.2008 | | Autor: | SEiCON |
Hallo,
$ [mm] (e^{n\cdot{}i\cdot{}\phi} [/mm] $ was bedeuted das denn xD ich kenne diese Schreibweise noch nicht.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:07 Mi 14.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] z=a+ib=\Wurzel{a^2+b^2}*(cos\phi+i*sin\phi) [/mm] mit [mm] \phi=arctan(b/a)
[/mm]
statt [mm] (cos\phi+i*sin\phi)schreibt [/mm] man auch [mm] e^{i*\phi}
[/mm]
die Punkte [mm] z=e^{i*\phi} [/mm] liegen alle auf dem Einheitskreis um z=0 und mit dem Winkel [mm] \phi [/mm] zur x-Achse. das kannst du an der anderen Darstellung ablesen.
ie Darstellung von z mit [mm] e^{i*\phi} [/mm] ist zum potenzieren und multiplizieren die einfachste, sie heiss Moivre Darstellung.
sonst musst du wissen, dass mit [mm] z=r*(cos\phi+i*sin\phi)
[/mm]
[mm] z^n=r^n*(cosn*\phi+i*sinn*\phi) [/mm] ist.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:21 Mi 14.05.2008 | | Autor: | SEiCON |
Ja super, danke dir ! Das habe ich nun soweit verstanden. Ich schlage jetzt mal den Königsberger auf und lese mir das nochmal genau durch... dann klappt das mit der Aufgabe schon :)
Thanks again und bis dann !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:41 Mi 14.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Bei der Induktionsvor. zu schreiben
"..........für alle n in N"
ist Unsinn. Wenn ich so etwas voraussetze, brauche ich ja nichts mehr beweisen !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Richtig wäre: " für ein n in N gelte............................"
FRED
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