Induktionsbeweis < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:01 So 10.11.2013 | | Autor: | Laura94 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Sei a [mm] \in \IR [/mm] und 0<a<1.
z.z.: [mm] (1+na)(1-a)^n [/mm] < 1
Mein Lösungsansatz:
Induktionsanfang:
Sei n=1
(1+a)(1-a)< 1
...
1-a²< 1
stimmt, weil a²<1 (wegen 0<a<1) und a²>0 (wegen 0<a)
Induktionsschritt:
Gilt die Aussage auch für n+1?
(1+(n+1)a)(1-a)^(n+1) < 1
[mm] \gdw (1+na+a)(1-a)(1-a)^n [/mm] <1
Hier weiß ich nicht weiter.. ich habe schon alles ausmultipliziert, das hat mir allerdings nicht viel geholfen.
Über einen Tipp würde ich mich sehr freuen!
LG Laura
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:55 So 10.11.2013 | | Autor: | abakus |
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Sei a [mm]\in \IR[/mm] und 0<a<1.
>
> z.z.: [mm](1+na)(1-a)^n[/mm] < 1
>
> Mein Lösungsansatz:
> Induktionsanfang:
>
> Sei n=1
>
> (1+a)(1-a)< 1
> ...
> 1-a²< 1
> stimmt, weil a²<1 (wegen 0<a<1) und a²>0 (wegen 0<a)
>
> Induktionsschritt:
> Gilt die Aussage auch für n+1?
>
> (1+(n+1)a)(1-a)^(n+1) < 1
> [mm]\gdw (1+na+a)(1-a)(1-a)^n[/mm] <1
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> Hier weiß ich nicht weiter.. ich habe schon alles
> ausmultipliziert, das hat mir allerdings nicht viel
> geholfen.
Hallo,
ALLES ausmultiplizieren ist nicht hilfreich.
Man sollte nur so weit ausmultiplizieren, dass man den UNVERÄNDERTEN Term der Induktionsvoraussetzung wieder erhält und getrennt davon das, was neu hinzukommt.
So gilt hier [mm] (1+(n+1)a)(1-a)^{n+1} =(1+na)(1-a)^{n+1}+a(1-a)^{n+1}= \blue{(1+na)(1-a)^{n}}*(1-a)+a(1-a)^{n+1} [/mm]
wobei der blaue Teil dem Term der IV entspricht und demzufolge kleiner als 1 ist.
Gruß Abakus
> Über einen Tipp würde ich mich sehr freuen!
>
> LG Laura
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:39 So 10.11.2013 | | Autor: | Laura94 |
Vielen, vielen Dank!
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