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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:44 Di 11.12.2012 | | Autor: | info1234 |
| Aufgabe | Summe(n,k=0) [mm] q^K [/mm] = (1-q^(n+1))/(1-q)
q != 1 n€N |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Komme bei dem Induktionsbeweis nicht weiter. Nachdem ich die I.A. eiingesetzt habe sieht die Gleichung so aus:
(1-q^(n+1))/(1-q) + q^(n+1)
Aber habe leider Probleme das zusammenzuaddieren. Könnte mir da jemand helfen? Danke
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Kann leider nix erkennen, daher erstmal ordentlich:
> Summe(n,k=0) [mm]q^K[/mm] = (1-q^(n+1))/(1-q)
> q != 1 n€N
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Komme bei dem Induktionsbeweis nicht weiter. Nachdem ich
> die I.A. eiingesetzt habe sieht die Gleichung so aus:
> (1-q^(n+1))/(1-q) + q^(n+1)
> Aber habe leider Probleme das zusammenzuaddieren. Könnte
> mir da jemand helfen? Danke
Du möchtest zeigen (Induktionsbehauptung):
[mm] $\summe_{k=0}^{n}q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$
[/mm]
Induktionsbeginn: Prüfen der Behauptung für ein möglichst kleines [mm] $n\in\IN$ [/mm]
Wenn du es für q=2 und n=1 prüfst, erhälst du 3=3, daher ist diese Aussage wahr.
Jetzt kommen wir zu dem Induktionsschritt, in dem wir die Behauptung auch für $n+1$ zeigen wollen. Zunächst, was rauskommen sollte:
[mm] $\summe_{k=0}^{n+1}q^k=\frac{1-q^{n+2}}{1-q}$
[/mm]
Nun beginnen wir mit der linken Seite:
[mm] $\summe_{k=0}^{n+1}q^k=\summe_{k=0}^{n}q^k+q^{n+1}$
[/mm]
Das ist der klassische Trick bei all diesen Aufgaben: Du zerlegst die eigentlich unbekannte Summe, die bis n+1 geht in einen bekannten Teil und einen Restterm. Der bekannte Teil ist uns aus dem Induktionsanfang bzw. der Induktionsbehauptung bekannt, nur der Term n+1 stört uns. Da wir aber die Summe für 0 bis n kennen, fehlt einzig und allein der Rest, der aus dem letzten Summanden n+1 besteht. Jetzt solltest du hier weitermachen können. Die Summe kannst du durch die Induktionsvoraussetzung ersetzten und durch umformen sollte das rauskommen, was wir zeigen wollen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:55 Di 11.12.2012 | | Autor: | info1234 |
Dankeschön :)
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