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Hallo, ich muss folgende Aufgabe lösen:
Zeige, dass [mm] \summe_{k=1}^{n} (-1)^k*k^2 [/mm] = [mm] (-1)^n [/mm] * [mm] {n+1\choose 2} [/mm] für alle [mm] n\in\IN
[/mm]
Der Induktionsanfang für n=1 stimmt mit -1=-1.
Bei dem Induktionsschluss habe ich Probleme:
Es ist [mm] (-1)^n [/mm] * [mm] {n+1\choose 2} [/mm] + (-1)^(n+1) * [mm] (n+1)^2
[/mm]
[mm] \gdw (-1)^n *({n+1\choose 2} [/mm] + [mm] (-1)*(n+1)^2)
[/mm]
[mm] \gdw (-1)^n [/mm] * [mm] ({n+1\choose 2} [/mm] + (-1)*(n+1)*(n+1))
[mm] \gdw (-1)^n [/mm] * [mm] ({n+1\choose 2} [/mm] + [mm] (-1)*{n+1\choose 1}*{n+1\choose 1})
[/mm]
Weiter hat es immer gehakt, egal ob ich die -1 weiter ausgeklammert habe um wenigstens auf(-1)^(n+1) zu kommen oder ob ich die binomische Formel mit dem binomischen Lehrsatz versucht habe aufzulösen.
Was mich extrem verunsichert sind die Binomialkoeffizienten.
Ich weiß, dass [mm] {n+1+1\choose 2}was [/mm] ja herauskommen soll =
{n + [mm] 1\choose [/mm] 1} + {n + [mm] 1\choose [/mm] 2} ist. Nur wie ich dahin komme, entzieht sich mir bis jetzt.
Wäre dankbar für einen Hinweis nach dem nächsten Schritt.
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Hallo Juliane,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Verwende hier, dass gilt:
[mm]\vektor{n+1\\
2} \ = \ \bruch{(n+1)*n}{2}[/mm]
[mm]\bruch{(n+2)*(n+1)}{2} \ = \ \vektor{n+2\\
2}[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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