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| Aufgabe | Seien [mm] a_{1},...,a_{n},x_{1},...,x_{n}>0 [/mm] mit [mm] \summe_{k=1}^{n}a_{k} [/mm] = 1
Man zeige: [mm] \produkt_{k=1}^{n}x_{k}^{a_{k}} \le \summe_{k=1}^{n}a_{k}x_{k} [/mm] |
hallo,
ob sich das mit induktion beweisen lässt, weiß ich eigentlich nicht so genau.
induktionsanfang n=1 wäre klar, aber ich weiß nicht, ob die vorbedingung, dass die summe aller [mm] a_{k} [/mm] bis k=n = 1 ist, sich dann zur summe aller [mm] a_{k} [/mm] bis n+1 erweitert. eigentlich würde dann die induktionsvoraussetzung nicht mehr funktionieren, oder?
ich hatte auch noch die idee, eine gleichung daraus zu machen, die so ähnlich aussieht wie die AGM-ungleichung, wenn man die [mm] a_{k} [/mm] nämlich als brüche p/q ausdrückt und auf einen hauptnenner z bringt, ergäbe sich ja:
[mm] \wurzel[z]{x_{1}^{p_{1}} * ... * x_{n}^{p_{n}}} \le \bruch{p_{1}x_{1} + ... + p_{n}x_{n}}{z}
[/mm]
das sieht nun zwar irgendwie aus, als könnte man es vereinfachen, mir fällt aber nicht ein, wie. ich wäre einfach dankbar für einen tipp oder vorschlag!
vielen dank schonmal fürs lesen,
hannes
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:50 Sa 19.12.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Hannes,
feiste Aufgabe...
In Deinen Weg kann ich mich gerade nicht hineindenken, bzw. sehe nicht, wie er zum Erfolg führt. Das kann er ja trotzdem tun, aber z.Z. nicht, wenn ich ihn gehe.
Ich würde anders anfangen. Wir wissen ja nichts über die [mm] x_i [/mm] außer dass sie alle >0 sind.
Die zu zeigende Ungleichung liefert m.E. nur dann Gleichheit, wenn alle [mm] x_i [/mm] gleich sind.
Kann man darauf keine Abschätzung aufbauen? Mir sieht das ganz so aus, als könntest Du mit ![[]](/images/popup.gif) Bernoulli da zum Ziel kommen. Ich meine, dass - anders als Wikipedia hier schreibt - die Ungleichung nicht nur für ganzzahlige n, sondern für alle [mm] n\ge0 [/mm] gilt.
lg
reverend
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Hallo Hannes,
manchmal lohnt es sich ja, auch den Links zu folgen...
Hast Du schon diesen Hinweis gefunden?
rev
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:13 Sa 19.12.2009 | | Autor: | karlhungus |
hey,
komme gerade nach hause. na sowas! vielen dank!
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