Induktionsbeweis < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:30 So 07.12.2008 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | Beweisen Sie
$\ 1 + [mm] 2^2 [/mm] + [mm] 3^2 [/mm] + ... + [mm] n^2 [/mm] = [mm] \bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}$ [/mm] mit $\ n [mm] \in \IN [/mm] $
mit Hilfe der vollständigen Induktion
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Induktionsanfang:
$\ n=1 $
$\ 1 = [mm] \bruch{1(1+1)(2*1+1)}{6}$
[/mm]
$\ 1 = [mm] \bruch{1*2*3}{6}$ [/mm] Wahr für $\ n=1 $
Induktionsvoraussetzung:
$\ 1 + [mm] 2^2 [/mm] + [mm] 3^2 [/mm] + ... + [mm] n^2 [/mm] = [mm] \bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}$ [/mm] mit $\ n [mm] \in \IN [/mm] $
Induktionsschritt: $\ n [mm] \to [/mm] n+1 $
$\ 1 + [mm] 2^2 [/mm] + [mm] 3^2 [/mm] + ... + [mm] n^2 [/mm] + [mm] (n+1)^2 [/mm] = [mm] \bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2 [/mm] $
$\ 1 + [mm] 2^2 [/mm] + [mm] 3^2 [/mm] + ... + [mm] n^2 [/mm] + [mm] (n+1)^2 [/mm] = [mm] \bruch{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2 }{6}$ [/mm]
Hier bin ich mir nun nicht mehr sicher, ob der letzte Schritt richtig ist.
Muss ich denn, so wie ich es im letzten Schritt gemacht habe, $\ [mm] (n+1)^2 [/mm] $ zur Gleichung auf beiden Seiten addieren oder muss ich den Ausdruck $\ [mm] (n+1)^2 [/mm] $ nur zur linken Seite addieren und auf der rechten Seite jedes $\ n $ durch $\ n+1 $ ersetzen?
also:
$\ 1 + [mm] 2^2 [/mm] + [mm] 3^2 [/mm] + ... + [mm] n^2 [/mm] + [mm] (n+1)^2 [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)(n+2)[2(n+1)+1]}{6}$ [/mm]
welcher Schritt ist denn nun korrekt?
Ich meine eigentlich, dass die letzte Gleichung, in der jedes $\ n $ durch $\ n+1 $ ersetzt wird eher in die richtige Richtung geht, da das letzte Glied der Summen"kette" auf der linken Seite ja nicht mehr $\ n $, sondern $\ n+1 $ ist. Ich bin mir aber nicht so sicher und im Internet sieht jeder Induktionsbeweis zu dieser Gleichung anders aus.
Würde mich über Hilfe freuen,
viele Grüße
ChopSuey
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Hallo ChopSuey,
es sind sozusagen beide Schritte richtig, aber nur zusammen.
Du musst zeigen, dass die beiden Ergebnisse äquivalent sind.
Besonders übersichtlich ist es, wenn Du
[mm] \bruch{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6}
[/mm]
umformen kannst zu [mm] \bruch{(n+1)(n+2)[2(n+1)+1]}{6}
[/mm]
Versuchs mal, es ist nicht so schwer.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 So 07.12.2008 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo reverend,
vielen Dank für die Hilfe
> Hallo ChopSuey,
>
> es sind sozusagen beide Schritte richtig, aber nur
> zusammen.
> Du musst zeigen, dass die beiden Ergebnisse äquivalent
> sind.
>
> Besonders übersichtlich ist es, wenn Du
>
> [mm]\bruch{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6}[/mm]
>
> umformen kannst zu [mm]\bruch{(n+1)(n+2)[2(n+1)+1]}{6}[/mm]
>
> Versuchs mal, es ist nicht so schwer.
[mm]\bruch{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6}[/mm]
Mein Ansatz war dieser:
[mm]\bruch{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6}[/mm] | ausmultiplizieren
[mm]\bruch{(n^2+n)(2n+1)+6(n+1)^2}{6}[/mm]
[mm]\bruch{(2n^3+n^2+2n^2+n)+6(n^2+2n+1)}{6}[/mm]
[mm]\bruch{2n^3+3n^2+n+6n^2+12n+6}{6}[/mm] | zusammenfassen
[mm]\bruch{2n^3+9n^2+13n+6}{6}[/mm]
Das Gleiche dann mit dem Term
[mm]\bruch{(n+1)(n+2)[2(n+1)+1]}{6}[/mm]
[mm]\bruch{(n^2+2n+n+2)[(2n+2)+1]}{6}[/mm]
[mm]\bruch{(n^2+3n+2)[(2n+2)+1]}{6}[/mm]
[mm]\bruch{2n^3+2n^2+6n^2+6n+4n+4+n^2+3n+2}{6}[/mm] | zusammenfassen
[mm]\bruch{2n^3+9n^2+13n+6}{6}[/mm]
Ich konnte also zeigen, dass beide Terme äquivalent sind.
Allerdings ist jetzt nach all der Rechnerei ein bisschen der Bezug zur Induktion verloren gegangen.
Da ja beide Ansätze richtig waren, würde ich gerne wissen ob ich jedes mal, wenn ich eine Aussagenform durch Induktion beweisen soll, die äquivalenz von 2 solcher Umformungen zeigen muss.
Ich hab ja in einem Fall einfach auf beiden Seiten der Gleichung den Ausdruck $\ [mm] (n+1)^2 [/mm] $ addiert und in einem Fall die Summenkette um $\ [mm] (n+1)^2 [/mm] $ erweitert und dann jedes $\ n $ durch $\ n+1 $ ersetzt, was mir persönlich irgendwie logischer erscheint.
Wie hab ich nun bei der Induktion vorzugehen?
Beide Varianten und dann die äquivalenz zeigen oder nur eine der Beiden und die Äquivalenz zur ursprünglichen Form zeigen?
Vielen Dank für die Hilfe
Gruß
ChopSuey
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Hallo ChopSuey,
> Hallo reverend,
> vielen Dank für die Hilfe
>
> > Hallo ChopSuey,
> >
> > es sind sozusagen beide Schritte richtig, aber nur
> > zusammen.
> > Du musst zeigen, dass die beiden Ergebnisse äquivalent
> > sind.
> >
> > Besonders übersichtlich ist es, wenn Du
> >
> > [mm]\bruch{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6}[/mm]
> >
> > umformen kannst zu [mm]\bruch{(n+1)(n+2)[2(n+1)+1]}{6}[/mm]
> >
> > Versuchs mal, es ist nicht so schwer.
>
> [mm]\bruch{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6}[/mm]
>
> Mein Ansatz war dieser:
>
> [mm]\bruch{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6}[/mm] | ausmultiplizieren
>
> [mm]\bruch{(n^2+n)(2n+1)+6(n+1)^2}{6}[/mm]
>
> [mm]\bruch{(2n^3+n^2+2n^2+n)+6(n^2+2n+1)}{6}[/mm]
>
> [mm]\bruch{2n^3+3n^2+n+6n^2+12n+6}{6}[/mm] | zusammenfassen
>
> [mm]\bruch{2n^3+9n^2+13n+6}{6}[/mm]
>
> Das Gleiche dann mit dem Term
>
> [mm]\bruch{(n+1)(n+2)[2(n+1)+1]}{6}[/mm]
>
> [mm]\bruch{(n^2+2n+n+2)[(2n+2)+1]}{6}[/mm]
>
> [mm]\bruch{(n^2+3n+2)[(2n+2)+1]}{6}[/mm]
>
> [mm]\bruch{2n^3+2n^2+6n^2+6n+4n+4+n^2+3n+2}{6}[/mm] |
> zusammenfassen
>
> [mm]\bruch{2n^3+9n^2+13n+6}{6}[/mm]
>
> Ich konnte also zeigen, dass beide Terme äquivalent sind.
> Allerdings ist jetzt nach all der Rechnerei ein bisschen
> der Bezug zur Induktion verloren gegangen.
Ich habe diese ellenlangen Rechnungen nun nicht geprüft und vertraue auf deine Rechenkünste 
Zumal du ja das Richtige herausbekommen hast
>
> Da ja beide Ansätze richtig waren, würde ich gerne wissen
> ob ich jedes mal, wenn ich eine Aussagenform durch
> Induktion beweisen soll, die äquivalenz von 2 solcher
> Umformungen zeigen muss.
>
> Ich hab ja in einem Fall einfach auf beiden Seiten der
> Gleichung den Ausdruck [mm]\ (n+1)^2[/mm] addiert und in einem Fall
> die Summenkette um [mm]\ (n+1)^2[/mm] erweitert und dann jedes [mm]\ n[/mm]
> durch [mm]\ n+1[/mm] ersetzt, was mir persönlich irgendwie logischer
> erscheint.
>
> Wie hab ich nun bei der Induktion vorzugehen?
> Beide Varianten und dann die äquivalenz zeigen oder nur
> eine der Beiden und die Äquivalenz zur ursprünglichen Form
> zeigen?
Im Prinzip geht beides, du setzt dir ein beliebiges [mm] $n\in\IN$ [/mm] fest und nimmst an, dass die Beh. für dieses $n$ gilt, also [mm] $\red{\sum\limits_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$
[/mm]
Das ist die Induktionsvoraussetzung
Nun musst du im eigentlichen Induktionsbeweis zeigen, dass die Beh. dann auch für n+1 gilt
Du musst also zeigen, dass [mm] $\sum\limits_{k=1}^{n+1}k^2=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$ [/mm] ist
Dazu kannst du dir entweder die linke Seite dieser Beh. hernehmen und mithilfe der Induktionsvoraussetzung umformen, bis du die rechte Seite dastehen hast (das ist der übliche Weg)
Also [mm] $\sum\limits_{k=1}^{n+1}k^2=\left(\red{\sum\limits_{k=1}^{n}k^2}\right)+(n+1)^2=\red{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}+(n+1)^2$ [/mm] (gilt nach Induktionsvoraussetzung) und dann weiter umformen wie oben, bis du die rechte Seite der zu zeigenden Gleichheit hast
Du kannst aber auch von der Induktionsvoraussetzung ausgehen und auf beiden Seiten [mm] $(n+1)^2$ [/mm] addieren und es (dann allerdings ausschließlich mit Äquivalenzumformungen) weiter umformen, bis du die Aussage [mm] $\sum\limits_{k=1}^{n+1}k^2=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$ [/mm] dastehen hast
> Vielen Dank für die Hilfe
> Gruß
> ChopSuey
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:31 So 07.12.2008 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo schachuzipus,
danke für die Hilfe 
> Hallo ChopSuey,
>
> > Hallo reverend,
> > vielen Dank für die Hilfe
> >
> > > Hallo ChopSuey,
> > >
> > > es sind sozusagen beide Schritte richtig, aber nur
> > > zusammen.
> > > Du musst zeigen, dass die beiden Ergebnisse
> äquivalent
> > > sind.
> > >
> > > Besonders übersichtlich ist es, wenn Du
> > >
> > > [mm]\bruch{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6}[/mm]
> > >
> > > umformen kannst zu [mm]\bruch{(n+1)(n+2)[2(n+1)+1]}{6}[/mm]
> > >
> > > Versuchs mal, es ist nicht so schwer.
> >
> > [mm]\bruch{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6}[/mm]
> >
> > Mein Ansatz war dieser:
> >
> > [mm]\bruch{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6}[/mm] | ausmultiplizieren
> >
> > [mm]\bruch{(n^2+n)(2n+1)+6(n+1)^2}{6}[/mm]
> >
> > [mm]\bruch{(2n^3+n^2+2n^2+n)+6(n^2+2n+1)}{6}[/mm]
> >
> > [mm]\bruch{2n^3+3n^2+n+6n^2+12n+6}{6}[/mm] | zusammenfassen
> >
> > [mm]\bruch{2n^3+9n^2+13n+6}{6}[/mm]
> >
> > Das Gleiche dann mit dem Term
> >
> > [mm]\bruch{(n+1)(n+2)[2(n+1)+1]}{6}[/mm]
> >
> > [mm]\bruch{(n^2+2n+n+2)[(2n+2)+1]}{6}[/mm]
> >
> > [mm]\bruch{(n^2+3n+2)[(2n+2)+1]}{6}[/mm]
> >
> > [mm]\bruch{2n^3+2n^2+6n^2+6n+4n+4+n^2+3n+2}{6}[/mm] |
> > zusammenfassen
> >
> > [mm]\bruch{2n^3+9n^2+13n+6}{6}[/mm]
> >
> > Ich konnte also zeigen, dass beide Terme äquivalent sind.
> > Allerdings ist jetzt nach all der Rechnerei ein
> bisschen
> > der Bezug zur Induktion verloren gegangen.
>
> Ich habe diese ellenlangen Rechnungen nun nicht geprüft und
> vertraue auf deine Rechenkünste
>
Freut mich zu hören
> Zumal du ja das Richtige herausbekommen hast
>
> >
> > Da ja beide Ansätze richtig waren, würde ich gerne wissen
> > ob ich jedes mal, wenn ich eine Aussagenform durch
> > Induktion beweisen soll, die äquivalenz von 2 solcher
> > Umformungen zeigen muss.
> >
> > Ich hab ja in einem Fall einfach auf beiden Seiten der
> > Gleichung den Ausdruck [mm]\ (n+1)^2[/mm] addiert und in einem Fall
> > die Summenkette um [mm]\ (n+1)^2[/mm] erweitert und dann jedes [mm]\ n[/mm]
> > durch [mm]\ n+1[/mm] ersetzt, was mir persönlich irgendwie logischer
> > erscheint.
> >
> > Wie hab ich nun bei der Induktion vorzugehen?
> > Beide Varianten und dann die äquivalenz zeigen oder nur
> > eine der Beiden und die Äquivalenz zur ursprünglichen Form
> > zeigen?
>
> Im Prinzip geht beides, du setzt dir ein beliebiges [mm]n\in\IN[/mm]
> fest und nimmst an, dass die Beh. für dieses [mm]n[/mm] gilt, also
> [mm]\red{\sum\limits_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}[/mm]
>
> Das ist die Induktionsvoraussetzung
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das hab ich verstanden.
>
> Nun musst du im eigentlichen Induktionsbeweis zeigen, dass
> die Beh. dann auch für n+1 gilt
>
> Du musst also zeigen, dass
> [mm]\sum\limits_{k=1}^{n+1}k^2=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}[/mm] ist
>
Ebenfalls verstanden.
> Dazu kannst du dir entweder die linke Seite dieser Beh.
> hernehmen und mithilfe der Induktionsvoraussetzung
> umformen, bis du die rechte Seite dastehen hast (das ist
> der übliche Weg)
>
> Also
> [mm]\sum\limits_{k=1}^{n+1}k^2=\left(\red{\sum\limits_{k=1}^{n}k^2}\right)+(n+1)^2=\red{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}+(n+1)^2[/mm]
> (gilt nach Induktionsvoraussetzung) und dann weiter
> umformen wie oben, bis du die rechte Seite der zu zeigenden
> Gleichheit hast
>
Aber hier wird doch auch nur auf beiden Seiten $\ [mm] (n+1)^2 [/mm] $ addiert und dann zusammengefasst, oder?
> Du kannst aber auch von der Induktionsvoraussetzung
> ausgehen und auf beiden Seiten [mm](n+1)^2[/mm] addieren und es
> (dann allerdings ausschließlich mit Äquivalenzumformungen)
> weiter umformen, bis du die Aussage
> [mm]\sum\limits_{k=1}^{n+1}k^2=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}[/mm]
> dastehen hast
>
Nachdem ich meine, dass bei Variante 1 schon nur auf beiden Seiten $\ [mm] (n+1)^2 [/mm] $ addiert wird, seh ich keinen Unterschied zwischen dem 1. und dem 2. Vorschlag.
Hoffe das klärt sich noch irgendwie auf
> > Vielen Dank für die Hilfe
> > Gruß
> > ChopSuey
>
>
> LG
>
> schachuzipus
Viele Grüße,
ChopSuey
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:19 So 07.12.2008 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo nochmal,
> > ....
> > Wie hab ich nun bei der Induktion vorzugehen?
> > Beide Varianten und dann die äquivalenz zeigen oder nur
> > eine der Beiden und die Äquivalenz zur ursprünglichen Form
> > zeigen?
>
> Im Prinzip geht beides, du setzt dir ein beliebiges [mm]n\in\IN[/mm]
> fest und nimmst an, dass die Beh. für dieses [mm]n[/mm] gilt, also
> [mm]\red{\sum\limits_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}[/mm]
>
> Das ist die Induktionsvoraussetzung
>
> Nun musst du im eigentlichen Induktionsbeweis zeigen, dass
> die Beh. dann auch für n+1 gilt
>
> Du musst also zeigen, dass
> [mm]\sum\limits_{k=1}^{n+1}k^2=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}[/mm] ist
>
> Dazu kannst du dir entweder die linke Seite dieser Beh.
> hernehmen und mithilfe der Induktionsvoraussetzung
> umformen, bis du die rechte Seite dastehen hast (das ist
> der übliche Weg)
>
> Also
> [mm]\sum\limits_{k=1}^{n+1}k^2=\left(\red{\sum\limits_{k=1}^{n}k^2}\right)+(n+1)^2=\red{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}+(n+1)^2[/mm]
> (gilt nach Induktionsvoraussetzung) und dann weiter
> umformen wie oben, bis du die rechte Seite der zu zeigenden
> Gleichheit hast
>
> Du kannst aber auch von der Induktionsvoraussetzung
> ausgehen und auf beiden Seiten [mm](n+1)^2[/mm] addieren und es
> (dann allerdings ausschließlich mit Äquivalenzumformungen)
> weiter umformen, bis du die Aussage
> [mm]\sum\limits_{k=1}^{n+1}k^2=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}[/mm]
> dastehen hast
>
> > Vielen Dank für die Hilfe
> > Gruß
> > ChopSuey
>
>
> LG
>
> schachuzipus
ich glaube ich bin nun dahinter gekommen.
Mein Problem lag u.a. darin, dass ich - schande über mein haupt - total vergessen hab dass $\ [mm] (n+1)^2 [/mm] $ äquivalent ist zu $\ (n+1)(n+1) $
War ein bisschen durcheinander was die binomischen Formeln angeht musste ich grad feststellen.
Mein Beweis würde nun so aussehen:
$ [mm] \sum\limits_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} [/mm] $ mit $\ n [mm] \in \IN [/mm] $
Induktionsanfang: $\ n = 1 $
$\ [mm] 1^2 =\frac{1(1+1)(2*1+1)}{6} [/mm] $
$\ [mm] 1^2 =\frac{2*3}{6} [/mm] $; offensichtlich wahr für $\ n = 1 $
Induktionsvoraussetzung:
$ [mm] \sum\limits_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} [/mm] $ für $\ n [mm] \in \IN [/mm] $
Induktionsschluss: $\ n [mm] \to [/mm] n+1 $
$ [mm] \sum\limits_{k=1}^{n+1}k^2=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6} [/mm] $
$ [mm] \left(\ \sum\limits_{k=1}^nk^2 \right) [/mm] + [mm] (n+1)^2 =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} [/mm] + [mm] (n+1)^2 [/mm] $
$ [mm] \left(\ \sum\limits_{k=1}^nk^2 \right) [/mm] + [mm] (n+1)^2 =\frac{n(n+1)(2n+1) + 6(n+1)^2 }{6} [/mm] $ | (n+1) ausklammern (der knoten platzt..)
$ [mm] \left(\ \sum\limits_{k=1}^nk^2 \right) [/mm] + [mm] (n+1)^2 =\frac{(n+1)[n(2n+1) + 6(n+1)] }{6} [/mm] $
$ [mm] \left(\ \sum\limits_{k=1}^nk^2 \right) [/mm] + [mm] (n+1)^2 =\frac{(n+1)[2n^2+n + 6n+6] }{6} [/mm] $
$ [mm] \left(\ \sum\limits_{k=1}^nk^2 \right) [/mm] + [mm] (n+1)^2 =\frac{(n+1)[2n^2 + 7n+6] }{6} [/mm] $
$ [mm] \left(\ \sum\limits_{k=1}^nk^2 \right) [/mm] + [mm] (n+1)^2 =\frac{(n+1)(n+2)[2n+3]}{6} [/mm] $
Hier konnte ich das Ding endlich auf die gesuchte Form bringen.
Supi!
Danke für die Hilfe reverend & schachuzipus!
Gruß
ChopSuey
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:30 So 07.12.2008 | | Autor: | reverend |
Ja, Du hast es.
Nur um der Schönheit willen könntest du ganz zum Schluss noch schreiben:
[mm] =\summe_{k=1}^{\red{n+1}}k^2
[/mm]
Dann wäre ganz offensichtlich, was Dir mit Deiner Rechnung zu zeigen gelungen ist.
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