Induktionsbeweis < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:16 Di 14.10.2008 | | Autor: | mb588 |
| Aufgabe | Sei [mm] k,m\in\IN [/mm]
und a+b=k und a*b=1
Weiterhin Sei [mm] a^{m}+ b^{m}= k(a^{m-1}+b^{m-1})-(a^{m-2}+b^{m-2}) [/mm]
Beweisen Sie, dass [mm] a^{m}+ b^{m}
[/mm]
eine ganze Zahl ist für alle [mm] m\in\IN. [/mm] |
Hey. Die Aufgabenstellung ist mir klar und weiß auch wie ich das machen muss. Der Induktionsanfang ergibt ja
[mm] a^{2}+b^{2}= k^{2}-2 [/mm] und das ist eine gnze Zahl.
Bei den Induktionschritt hab ich auch ne Idee aber da komm ich nicht drauf das es denn ne ganze Zahl sein soll.
Folgender Ansatz:
[mm] a^{m+1}+b^{m+1}= k(a^{m}+ b^{m})- (a^{m-1}+b^{m-1})= k^{2}((a^{m-1}+b^{m-1})-k(a^{m-2}+b^{m-2})- (a^{m-1}+b^{m-1})= (k^{2}-1)(a^{m-1}+b^{m-1})-k(a^{m-2}+b^{m-2})
[/mm]
Soweit, dass was ich habe, aber das zeigt ja nicht das es eine ganze Zahl ist. Hab da auch schon viel rumprobiert aber komme nicht auf die Lösung. Ist denn der Ansatz falsch oder übersehe ich einfach etwas?
Vielen dank für die Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:27 Di 14.10.2008 | | Autor: | fred97 |
Du brauchst eine Variante der vollst. Induktion.
Für m = 1 und m= 2 ist die Beh. richtig.
Induktionsvoraussetzung: Sei m [mm] \in \IN, m\ge [/mm] 2 und
die Beh. richtig für m und m-1
Schritt von m auf m+1:
Es ist $ [mm] a^{m+1}+ b^{m+1}= k(a^{m}+b^{m})-(a^{m-1}+b^{m-1}) [/mm] $
k ist eine ganze Zahl und nach Ind. - Vor sind [mm] a^{m}+b^{m} [/mm] und [mm] a^{m-1}+b^{m-1} [/mm] ganze Zahlen, also ist [mm] a^{m+1}+ b^{m+1} [/mm] eine ganze Zahl.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 Di 14.10.2008 | | Autor: | mb588 |
Also ich verstehe zwar das es für m gilt da es ja in der Induktionsvoraussetzung steht, aber warum ist denn jetzt gerade auch m-1 mit in der Induktionsvoraussetzung?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:23 Di 14.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo mb588!
Du meinst hier wohl eher im Induktionsschritt. Dort wird doch aus jedem $m_$ ein $m+1_$ ; so u.a. auch: [mm] $b^{\red{m+1}-2} [/mm] \ = \ [mm] b^{m-1}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
|
|
|
|
