Induktionsbeweis < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:07 So 05.10.2008 | | Autor: | csak1162 |
| Aufgabe | Beweisen Sie durch Induktion:
Für [mm] n\ge2 [/mm] ist 2(n + 1)² > (n+2)² |
also für 2 beweisen oder und dann für n und für (n-1) aber wie gehe ich da vor?
danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:47 So 05.10.2008 | | Autor: | weduwe |
> Beweisen Sie durch Induktion:
>
> Für [mm]n\ge2[/mm] ist 2(n + 1)² > (n+2)²
> also für 2 beweisen oder und dann für n und für (n-1) aber
> wie gehe ich da vor?
>
>
> danke
so in etwa.
zeige es für n= 3
es gelte die induktionsannahme für n = k
nun zeige für n = k + 1 deren richtigkeit
was leicht gelingt mit
[mm] (2k+2)^2>(k+3)^2
[/mm]
[mm] 2((k+1)+1)^2>((k+2)+1)^2 [/mm] ausquadrieren und zusammenfassen
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:46 So 05.10.2008 | | Autor: | csak1162 |
wieso drei und nicht 2???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:53 So 05.10.2008 | | Autor: | Disap |
> wieso drei und nicht 2???
Vermutlich ein Zahlendreher?!
Also wenn du eine 2 einsetzt und die Behauptung stimmt (tut es), dann hast du es damit bewiesen
MfG
Disap
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:10 So 05.10.2008 | | Autor: | weduwe |
n=3 wegen [mm] n\geq [/mm] 2
das ist doch für das prinzip wurscht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:40 Mo 06.10.2008 | | Autor: | csak1162 |
wenn aber z.B [mm] n\ge1 [/mm] steht und man es einfach mit zwei beweist, dann stimmt es ja nicht
weil mit 1 kommt heruas 8 > 9, und das ist falsch!
also wenn man dann mit 2 beweist und so weiter, dann kommt etwas richtiges heraus, obwohl es mit 1 falsch ist!! oder nicht!!??
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:42 Mo 06.10.2008 | | Autor: | csak1162 |
wenn aber z.B [mm] n\ge1 [/mm] steht und man es einfach mit zwei beweist, dann stimmt es ja nicht
weil mit 1 kommt heruas 8 > 9, und das ist falsch!
also wenn man dann mit 2 beweist und so weiter, dann kommt etwas richtiges heraus, obwohl es mit 1 falsch ist!! oder nicht!!??
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Hallo, in deiner Aufgabenstellung steht doch aber [mm] n\ge2, [/mm] natürlich hast du Recht für n=1 bekommst du eine falsche Aussage, 8>9, um n=1 brauchst du dich nicht zu kümmern, für n=2 bekommst du 18>16, eine wahre Aussage, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Di 07.10.2008 | | Autor: | csak1162 |
ich habe jetzt für n=2 bewiesen 18 > 16
und dann nehme ich an, dass die Aussage für n stimmt (Indunktionsannahme)
dann rechne ich die lilnke seite
und bekomme 2n² + 8n + 8
bei der rechten seite n² + 6n + 9 dann ist
n² + 2n - 1 > 0
ist das jetzt vollständig bewiesen, weil irgendwer hat gesagt, dass es so nicht immer akzeptiert wird!!!!
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:13 Di 07.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> ich habe jetzt für n=2 bewiesen 18 > 16
>
> und dann nehme ich an, dass die Aussage für n stimmt
> (Indunktionsannahme)
>
> dann rechne ich die lilnke seite
> und bekomme 2n² + 8n + 8
> bei der rechten seite n² + 6n + 9 dann ist
Ok...
> n² + 2n - 1 > 0
Ok... das ist zumindest mal ne wahre Aussage für alle [mm] $n\in\IN$. [/mm]
> ist das jetzt vollständig bewiesen, weil irgendwer hat
> gesagt, dass es so nicht immer akzeptiert wird!!!!
Es ist schon ein vollständiger Beweis, aber du hast es direkt, und nicht mit vollständiger Induktion bewiesen.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 Di 07.10.2008 | | Autor: | csak1162 |
und wie würde es mit vollständiger Induktion gehen???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:36 Di 07.10.2008 | | Autor: | pelzig |
Der Induktionsschritt geht so:
Die Behauptung gelte für $n$. Dann ist:
[mm] $2(n+2)^2=2n^2+8n+8=2(n+1)^2+4n+6$
[/mm]
nach unserer Annahme also
[mm] $>(n+2)^2+4n+6=(n+3)^2+2n+1>(n+3)^2$.
[/mm]
q.e.d.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 Mo 06.10.2008 | | Autor: | csak1162 |
ja aber ich meine wenn es so wäre dass man es für n [mm] \ge [/mm] 1 machen müsste und dann erst für 2 macht
so wie ???? vorgeschlagen hat bei n [mm] \ge [/mm] 2 erst mit 3 anzufangen!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:37 Mo 06.10.2008 | | Autor: | pelzig |
Also wenn man die Aussage für alle [mm] $n\ge [/mm] 2$ zeigen soll, reicht es natürlich nicht im Induktionsanfang nur den Fall $n=3$ zu betrachten. Der Fall $n=2$ muss also noch gesondert bewiesen werden.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:05 Di 07.10.2008 | | Autor: | csak1162 |
| Aufgabe | | für n [mm] \ge [/mm] 4 ist [mm] 2^{n +1} [/mm] > (n + 1)² |
für 4 stimmt die aussage
für n nehmen ich an, dass sie stimmt
und für n + 1 erhalte ich dann [mm] 2^{n} [/mm] > n² + 4n
meine Frage dazu wie rechne ich da weiter um das zu beweisen????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 Di 07.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> für n [mm]\ge[/mm] 4 ist [mm]2^{n +1}[/mm] > (n + 1)²
Das ist zu zeigen.
> für 4 stimmt die aussage
Glaub ich dir jetzt mal so...
> für n nehmen ich an, dass sie stimmt
Richtig.
> und für n + 1 erhalte ich dann [mm]2^{n}[/mm] > n² + 4n
Hä?
Für n+1 ist die Behauptung doch [mm] $2^{n+2}>(n+2)^2$. [/mm] Wie beweist man das? Nun,
[mm] $2^{n+2}=2\cdot 2^{n+1}$
[/mm]
das ist nach der Annahme, dass die Behauptung für $n$ gilt, also
[mm] $>2(n+1)^2$
[/mm]
und da [mm] $n\ge [/mm] 4$ ist, kannst du jetzt die erste Aufgabe benutzen und erhälst
[mm] $>(n+2)^2$
[/mm]
q.e.d.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:27 Di 07.10.2008 | | Autor: | csak1162 |
ja ähm das andere war das ausgerechnet
$ [mm] 2^{n+2}>(n+2)^2 [/mm] $
ich verstehe nicht wie ich hier die erste Rechnung anwenden soll?!
und noch etwas
was bedeutet q. e. d (hab ich noch nie gehört)
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:02 Di 07.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> ich verstehe nicht wie ich hier die erste Rechnung anwenden soll?!
In der ersten Aufgabe hast du doch schon gezeigt, dass für [mm] $n\ge [/mm] 2$ gilt: [mm] $2(n+1)^2>(n+2)^2$. [/mm] Das hab ich an der Stelle eben benutzt...
> und noch etwas
> was bedeutet q. e. d (hab ich noch nie gehört)
Guckst du ![[]](/images/popup.gif) hier.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Di 07.10.2008 | | Autor: | csak1162 |
vielleicht stehe ich auf der Leitung oder keine Ahnung was!
was hat das mit der Aufgabe
für n [mm] \ge [/mm] 4 ist [mm] 2^{n+1} [/mm] > (n + 1)² zu tun
tut mir leid ich checks nicht, sry!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:46 Di 07.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> was hat das mit der Aufgabe
> für n [mm]\ge[/mm] 4 ist [mm]2^{n+1}[/mm] > (n + 1)² zu tun
Erstmal gar nix. Aber in dem Induktionsschritt des Beweises entsteht halt zufällig so ein Term, warum sollte ich das da nicht benutzen?
Gruß, Robert
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