Induktionsbeweis < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:08 Mi 06.08.2008 | | Autor: | Larousse |
| Aufgabe | Zeigen Sie unter Verwendung des Binomischen Lehrsatzes:
Es sei p [mm] \in \IN. [/mm] Dann gibt es rationale Zahlen a0, ... ,ap derart, dass für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt:
[mm] \summe_{i=1}^{n} i^p [/mm] = (1/p+1)*n^(p+1) + [mm] ap*n^p [/mm] + ... + a1*n + a0.
Hinweis: Überlegen Sie sich zunächst, was die Aussage bedeutet. Wonach wollen Sie Induktion durchführen? Formulieren Sie im Induktionsschritt genau, was ihre Induktionsvoraussetzung ist und was Sie zeigen wollen. Dann wenden Sie dazu auf (n+1)^(p+2) - 1 den Binomischen Lehrsatz an.
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Hallo zusammen,
also die Aufgabe ist die letzte aus einem alten Vorbereitungskurs für Studienanfänger im Fach Mathematik und bereitet mir schon im Ansatz Probleme:
1. Es kommt mir komisch vor, dass es keine weitere Bedingung für die "a's"gibt.
2.Der Hinweis, woncah ich die Induktion durchfürhen will verwirrt mich: da diese Aussage ja für alle n [mm] \in \IN [/mm] gelten soll wäre ich wie sonst auch vorgegangen, also erst Richtigkeit von A(1) beweisen, dann A(n+1) unter der Voraussetzung, dass A(n) richtig ist beweisen. Ich wüßte nicht, wie ich es sonst machen sollte.
3. Ich kann noch nicht einmal die Richtigkeit von A(1) beweisen, da ich nicht nachweisen kann, dass es ein geeignetes p und diverse geeignete as as gibt.
usw...
Ich würde ja gerne konkretere Fragen stellen aber leider stellt die ganze Aufgabe für mich ein ein Problem dar. Darum wäre eine erläuterte Lösung eigentlich am besten.
Ich habe zwar schon eine ganze Zeit herum probiert , aber bisher ist dabei nicht wirklich was bei rumgekommen. Alle anderen Aufgaben haben mir überhaupt keine Probleme bereitet aber die hier....
Ich wäre sehr dankbar, wenn jemand hier diese Aufgabe lösen würde oder einen Link nennt wo ich mir die Lösung schauen könnte. Ich habe zwar schon im Netz und auch in den alten Forenbeiträgen gesucht, bin aber nicht fündig geworden.
Schon mal danke im voraus an alle die mir helfen möchten.
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:14 Mi 06.08.2008 | | Autor: | abakus |
> Zeigen Sie unter Verwendung des Binomischen Lehrsatzes:
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> Es sei p [mm]\in \IN.[/mm] Dann gibt es rationale Zahlen a0, ... ,ap
> derart, dass für alle n [mm]\in \IN[/mm] gilt:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} i^p[/mm] = (1/p+1)*n^(p+1) + [mm]a_p*n^p[/mm] + ... +
> a1*n + a0.
>
> Hinweis: Überlegen Sie sich zunächst, was die Aussage
> bedeutet. Wonach wollen Sie Induktion durchführen?
> Formulieren Sie im Induktionsschritt genau, was ihre
> Induktionsvoraussetzung ist und was Sie zeigen wollen. Dann
> wenden Sie dazu auf (n+1)^(p+2) - 1 den Binomischen
> Lehrsatz an.
>
> Hallo zusammen,
> also die Aufgabe ist die letzte aus einem alten
> Vorbereitungskurs für Studienanfänger im Fach Mathematik
> und bereitet mir schon im Ansatz Probleme:
> 1. Es kommt mir komisch vor, dass es keine weitere
> Bedingung für die "a's"gibt.
Die einzigen Bedingungen für "die a's" sind tatsächlich
- rationale Zahlen und
- für jedes belibig gewählte p müssen es die selben "a's" sein.
> 2.Der Hinweis, woncah ich die Induktion durchfürhen will
> verwirrt mich: da diese Aussage ja für alle n [mm]\in\IN [/mm]
> gelten soll wäre ich wie sonst auch vorgegangen, also erst
> Richtigkeit von A(1) beweisen, dann A(n+1) unter der
> Voraussetzung, dass A(n) richtig ist beweisen. Ich wüßte
> nicht, wie ich es sonst machen sollte.
> 3. Ich kann noch nicht einmal die Richtigkeit von A(1)
> beweisen, da ich nicht nachweisen kann, dass es ein
> geeignetes p und diverse geeignete as as gibt.
> usw...
Der Induktionsanfang lautet als Gleichung (vorausgesetzt, deine Schreibweise 1/p+1 soll [mm] \bruch{1}{p+1} [/mm] bedeuten; sonst musst du entsprechend ändern)
[mm] 1^p=\bruch{1}{p+1}*1^{p+1}+1*a_1+a_0 [/mm] ; kurz:
[mm] 1=\bruch{1}{p+1}+a_1+a_0
[/mm]
Natürlich kann ich für jede nat. Zahl p zwei rationale Zahlen [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_0 [/mm] finden, so dass diese Gleichung stimmt. Diese beiden Zahlen sind (im Moment) in einem gewissen Grad noch frei wählbar: Ich kann mir irgendein [mm] a_0 [/mm] wählen und [mm] a_1 [/mm] so passend dazugeben, dass die Gleichung stimmt.
Du müsstest jetzt mal schauen, ob du bei Erhöhung von n (zunächst auf n=2) deine beliebig gewählten [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_0 [/mm] behalten kannst und allein durch die Wähl eines Wertes für [mm] a_2 [/mm] die Gleichung wieder passend machen kannst, oder ob nur ein bestimmtes Paar [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_0 [/mm] für eine Fortsetzung taugt.
Gruß Abakus
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> Ich würde ja gerne konkretere Fragen stellen aber leider
> stellt die ganze Aufgabe für mich ein ein Problem dar.
> Darum wäre eine erläuterte Lösung eigentlich am besten.
>
> Ich habe zwar schon eine ganze Zeit herum probiert , aber
> bisher ist dabei nicht wirklich was bei rumgekommen. Alle
> anderen Aufgaben haben mir überhaupt keine Probleme
> bereitet aber die hier....
> Ich wäre sehr dankbar, wenn jemand hier diese Aufgabe
> lösen würde oder einen Link nennt wo ich mir die Lösung
> schauen könnte. Ich habe zwar schon im Netz und auch in
> den alten Forenbeiträgen gesucht, bin aber nicht fündig
> geworden.
> Schon mal danke im voraus an alle die mir helfen möchten.
>
> ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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