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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:29 Di 20.05.2008 | | Autor: | statler |
> Sei n eine beliebige natürliche Zahl. Beweisen oder
> widerlegen Sie folgende Aussagen:
> (a) Erhält man bei Division von n durch 3 den Rest 1, dann
> auch bei Division von [mm]n^2[/mm] durch 3.
> (b) Erhält man bei Division von n durch 3 den Rest 2, dann
> auch bei Division von [mm]n^2[/mm] durch 3.
> (c) Erhält man bei Division von [mm]n^2[/mm] durch 3 den Rest 1,
> dann auch bei Division von n durch 3.
> (d) Erhält man bei Division von [mm]n^2[/mm] durch 3 den Rest 2,
> dann auch bei Division von n
> durch 3.
Hi!
> Ich finde einfach keinen Einstieg in diese Aufgabe, ich
> weiß auch nicht warum, vielleicht hab ich einfach ein Brett
> vorm Kopf  ich hab natürlich schon durch einfaches
> Zahlen einsetzen die Aussagen überprüft,
Was hat sich dennn dabei ergeben? Wahr oder falsch?
> aber jetzt steh
> ich vor dem allgemeinen Beweis und finde keinen Ansatz.
> wäre nett wenn mir jemand mal ein paar Tipps geben könnte.
> Außerdem seh ich keinen Unterschied in a/c und b/d aber wie
> gesagt, wahrscheinlich einfach Brett vorm Kopf.
a) und c) sind doch verschiedene Aussagen. Einmal heißt es 'wennn A dann B' und das andere Mal 'wenn B dann A'. Also annschaulich 'wenn es geregnet hat, dann ist die Straße naß' und 'wenn die Straße naß ist, dann hat es geregnet'.
Wenn du mit Kongruenzen umgehen kannst, also das modulo-Gerechne beherrschst, dann ist das ganz einfach. Da das offenbar nicht der Fall ist, mußt du die Sache anders anpacken.
Wenn man bei Division von n durch 3 den Rest 1 erhält, dann hat n die Form 3k+1. Welche Form hat dann [mm] n^{2}? [/mm] Entsprechend bei b).
Und wenn du a) und b) geklärt hast, müßte dir auch zu c) und d) etwas Schlaues einfallen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:58 Do 22.05.2008 | | Autor: | ninime |
| Aufgabe | Sei n eine beliebige natürliche Zahl. Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussagen:
(a) Erhält man bei Division von n durch 3 den Rest 1, dann auch bei Division von durch 3.
(b) Erhält man bei Division von n durch 3 den Rest 2, dann auch bei Division von durch 3.
(c) Erhält man bei Division von durch 3 den Rest 1, dann auch bei Division von n durch 3.
(d) Erhält man bei Division von durch 3 den Rest 2, dann auch bei Division von n
durch 3. |
gilt für n:
n = 3k + 1
[mm] n^2 [/mm] = 3 [mm] \* [/mm] (kn+n) + 1
?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 Do 22.05.2008 | | Autor: | abakus |
> Sei n eine beliebige natürliche Zahl. Beweisen oder
> widerlegen Sie folgende Aussagen:
> (a) Erhält man bei Division von n durch 3 den Rest 1, dann
> auch bei Division von durch 3.
> (b) Erhält man bei Division von n durch 3 den Rest 2, dann
> auch bei Division von durch 3.
> (c) Erhält man bei Division von durch 3 den Rest 1, dann
> auch bei Division von n durch 3.
> (d) Erhält man bei Division von durch 3 den Rest 2, dann
> auch bei Division von n
> durch 3.
> gilt für n:
>
> n = 3k + 1
> [mm]n^2[/mm] = 3 [mm]\*[/mm] (kn+n) + 1
>
> ?
Nein. Wenn n = 3k + 1, dann [mm] n^2 [/mm] = (3k + [mm] 1)^2 [/mm] .Verwende die erste binomische Formel.
Viele Grüße
Abakus
> Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 Do 22.05.2008 | | Autor: | ninime |
| Aufgabe | Sei n eine beliebige natürliche Zahl. Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussagen:
(a) Erhält man bei Division von n durch 3 den Rest 1, dann auch bei Division von durch 3.
(b) Erhält man bei Division von n durch 3 den Rest 2, dann auch bei Division von durch 3.
(c) Erhält man bei Division von durch 3 den Rest 1, dann auch bei Division von n durch 3.
(d) Erhält man bei Division von durch 3 den Rest 2, dann auch bei Division von n
durch 3. |
Ok danke,
also ist [mm] n^2=9k^2+6k+1
[/mm]
wie schreibe ich denn jetzt einen allgemeinen Beweis dafür, dass die Aussage a) wahr ist?
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Zu zeigen:
n lässt bei Division durch 3 den Rest 1 [mm] \Rightarrow n^{2} [/mm] lässt bei Division durch 3 den Rest 1
Beweis:
Lasse n bei Division durch 3 den Rest 1. Dann ist n auch als
[mm]n = 3k+1 \quad (k \in \IN_{0})[/mm]
darstellbar.
Das heißt, [mm] n^{2} [/mm] lässt sich darstellen als:
[mm]n^{2} = (3k+1)^{2} = 9k^{2}+6k+1 = 3*(3k^{2}+2k)+1[/mm]
Daraus folgt, dass auch [mm] n^{2} [/mm] bei Division durch 3 den Rest 1 lässt.
q.e.d.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:25 Do 22.05.2008 | | Autor: | ninime |
Supi dankeschön da wär ich nicht drauf gekommen, hab in eine ganz andere Richtung gedacht. Aber jetzt werde ich bestimmt auch Aufgabe b-d schaffen. Dankeschön
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