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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Induktionsaufgabe
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Induktionsaufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:29 Sa 29.08.2009
Autor: Arcesius

Aufgabe
Beweisen Sie: Die Determinante der n x n - Matrix

[mm] A_{n} [/mm] := [mm] \pmat{2 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & \vdots \\ 0 & 0 & 1 & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & \vdots & 0 & \ddots & 2 & 1 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & 2} [/mm]

ist für alle n [mm] \in \IN_{\ge 0} [/mm] gegeben durch [mm] det(A_{n}) [/mm] = n+1

Hinweis: Verwenden Sie Induktion über n.

Hallo

Ich habe diese Aufgabe versucht zu lösen und weiss nicht, ob mein Beweis vollständig ist..

- Induktionsanfang:

[mm] det(A_{1}) [/mm] = det(2) = 2 = n + 1    [ok]
[mm] det(A_{2}) [/mm] = [mm] det\pmat{2 & 1 \\ 1 & 2} [/mm] = 3 = n + 1     [ok]

- Induktionsschritt:

Durch Entwicklung lässt sich zeigen, dass:

[mm] det(A_{n+1}) [/mm] = [mm] 2*det(A_{n}) [/mm] - [mm] det(A_{n-1}) [/mm]

Nach unserer Annahme ist [mm] det(A_{n}) [/mm] = n+1

Was ich mir jetzt nicht sicher bin ist, ob ich durch meine Anker [mm] (det(A_{1}) [/mm] und [mm] det(A_{2})) [/mm] annehmen kann, dass [mm] det(A_{n-1}) [/mm] = n sein muss, oder ob ich dies noch irgendwie zeigen müsste.. Wenn ich es zeigen muss, dann weiss ich leider nicht wie...

Auf jeden Fall ist dann:
[mm] det(A_{n+1}) [/mm] = [mm] 2*det(A_{n}) [/mm] - [mm] det(A_{n-1}) [/mm] = 2*(n+1) - (n) = 2*n + 2 - n = n + 2 = (n + 1) + 1     [ok]


Vielen Dank für die Hilfe.

Grüsse, Amaro
        
Bezug
Induktionsaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:31 Sa 29.08.2009
Autor: felixf

Hallo Amaro!

> Beweisen Sie: Die Determinante der n x n - Matrix
>  
> [mm]A_{n}[/mm] := [mm]\pmat{2 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & \vdots \\ 0 & 0 & 1 & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & \vdots & 0 & \ddots & 2 & 1 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & 2}[/mm]
>  
> ist für alle n [mm]\in \IN_{\ge 0}[/mm] gegeben durch [mm]det(A_{n})[/mm] =
> n+1
>  
> Hinweis: Verwenden Sie Induktion über n.
>
> Ich habe diese Aufgabe versucht zu lösen und weiss nicht,
> ob mein Beweis vollständig ist..
>  
> - Induktionsanfang:
>
> [mm]det(A_{1})[/mm] = det(2) = 2 = n + 1    [ok]
>  [mm]det(A_{2})[/mm] = [mm]det\pmat{2 & 1 \\ 1 & 2}[/mm] = 3 = n + 1    
> [ok]

[ok]

> - Induktionsschritt:
>  
> Durch Entwicklung lässt sich zeigen, dass:
>  
> [mm]det(A_{n+1})[/mm] = [mm]2*det(A_{n})[/mm] - [mm]det(A_{n-1})[/mm]
>  
> Nach unserer Annahme ist [mm]det(A_{n})[/mm] = n+1
>  
> Was ich mir jetzt nicht sicher bin ist, ob ich durch meine
> Anker [mm](det(A_{1})[/mm] und [mm]det(A_{2}))[/mm] annehmen kann, dass
> [mm]det(A_{n-1})[/mm] = n sein muss, oder ob ich dies noch irgendwie
> zeigen müsste.. Wenn ich es zeigen muss, dann weiss ich
> leider nicht wie...

Hier gibt es zwei Moeglichkeiten. Entweder formulierst du die Induktionsannahme wie folgt:

Fuer $n [mm] \in \IN$, [/mm] $n > 0$ gilt [mm] $\det A_n [/mm] = n + 1$, [mm] $\det A_{n-1} [/mm] = n$.


Oder du verwendest gleich die []starke Induktion (die deutsche Wikipedia bezeichnet das als []Induktion zweiter Art):

Fuer $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt [mm] $\det A_k [/mm] = k + 1$ fuer alle $k [mm] \le [/mm] n$.


Dann gilt insbesondere [mm] $\det A_n [/mm] = n + 1$ und [mm] $\det A_{n-1} [/mm] = n$.
(Der restliche Teil deines Beweises ist ok.)

LG Felix

Bezug
                
Bezug
Induktionsaufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:45 Sa 29.08.2009
Autor: Arcesius

Hallo Felix

Wie immer hast du mir sehr gut helfen können. :)

Genau die Fibonacci-Zahlen hatte ich im Kopf, als ich mir das mit den Anker überlegt habe.. Danke also für den Link!

D.h ich muss mein Beweis nur in der Mitte ein bisschen umformulieren, dann stimmt das Zeugs, ja?

Danke nochmals :)

Grüsse, Amaro
Bezug
                        
Bezug
Induktionsaufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:33 Sa 29.08.2009
Autor: felixf

Hallo Amaro

> D.h ich muss mein Beweis nur in der Mitte ein bisschen
> umformulieren, dann stimmt das Zeugs, ja?

Genau!

LG Felix

Bezug
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