Induktionsanfang für A(x) x>1 < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:58 Mi 23.10.2013 | | Autor: | gnolli |
| Aufgabe | | Woraus folgt das man beim Induktionsanfang nicht unbedingt bei A(0) anfangen muss? |
Hallo, ich habe mir die peano axiome durchgelesen, daraus kann man ja die vollständige induktion schlussfolgern. Allerdings beginnt man dort immer mit A(1) = 0. Warum kann man mit einem höheren Wert anfangen, aus welchem Axiom folgt das?
Meine idee ist das man die natürlichen zahlen Als eine Menge definiert die eben z.B. bei 5 anfängt dann betrachtet man A(5) und kann daran wieder die peano axiome anwenden oder was meint ihr?
Gruß, Michael
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:15 Mi 23.10.2013 | | Autor: | fred97 |
Bei Euch ist offensichtlich [mm] \IN=\{0,1,2,...\}.
[/mm]
Nun stell Dir vor, es sei p [mm] \in \IN, [/mm] p>0 und Du sollst zeigen:
die Aussage A(n) ist wahr für alle n [mm] \in \IN [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] p.
Zeigen kannst Du das so:
für n [mm] \in \IN [/mm] definiere B(n):=A(n+p).
dann ist B(0)=A(p), B(1)=A(p+1), .....
Zeige nun, wie Du es gewohnt bist, mit Induktion:
die Aussage B(n) ist wahr für alle n [mm] \in \IN [/mm] .
Wenn Du das gemacht hast, hast Du gezeigt, dass A(n) wahr ist für alle n [mm] \in \IN [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] p.
Obiges ist nichts anderes als:
1. Induktionsanfang: zeige A(p) ist wahr.
2. Induktionsvoraussetzung (IV): für ein n [mm] \in \IN [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] p sei A(n) wahr.
3. Induktionsschluss: mit IV zeige, dass auch A(n+1) wahr ist.
FRED
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