Induktion mit Determinanten < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:32 Sa 26.04.2008 | | Autor: | xMariex |
| Aufgabe | Es sei K ein Körper und es seien [mm]a_1,...,a_n \in K[/mm] für [mm]n\in \IN[/mm] Sei
[mm]d_n(a_1,....,a_n)= det \pmat{a_1 & 1 & 0 & ... & & \\ -1 & a_2 & 1 & 0 & ... & \\ 0 & -1 & a_3 & 1 & 0 & \\
0 & 0 &-1 & ... & &0 \\ 0 & ... & & & ... & 1 \\ 0 & 0 & 0 &0 & -1 & a_n}[/mm]
Zeigen Sie:
Für [mm]n\ge 3[/mm] ist
[mm]\bruch{d_{n-1}(a_2,...,a_n)}{d_n(a_1,...,a_n)} = \bruch{1}{a_1+ \bruch{1}{a_2+\bruch{1}{a_3+\bruch{1}{.... \bruch{1}{a_{n-1}+\bruch{1}{a_n}}}}}}[/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt.
Hi, ich bin es schon wieder. Ich hoffe ich hab das mit dem Abschreiben in der Aufgabenstellung einigermaßen hinbekommen.
Ich wollte das ganze per Induktion machen:
Induktionsanfang:
n=3
[mm]\bruch{d_2(a_2,a_3)}{d_3(a_1,a_2,a_3)}= \bruch{det \mat{a_2 & 1 \\ -1 & a_3}}{det \pmat{a_1 & 1 & 0 \\ -1 & a_2 & 1 \\ 0 & -1 & a_3}}[/mm]
stellt sich jedoch für mich die Frage wie die Determinanten durcheinander teilen darf oder kann, jedenfalls möchte ich haben: [mm]= \bruch{1}{a_1+\bruch{1}{a_2+\bruch{1}{a_3}}}[/mm]
Induktionsschluss:
[mm]\bruch{d_n(a_2,...,a_{n+1})}{d_{n+1}(a_1,...,a_{n+1})} =\bruch{1 (1...)}{d_n(a_1, 1...)}[/mm]
Grüße,
Marie
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Hallo xMariex!
> Es sei K ein Körper und es seien [mm][mm]a_1,...,a_n \in K[/mm][/mm] für [mm][mm]n\in \IN[/mm][/mm] Sei[/mm][/mm]
> [mm][mm] [mm][mm]d_n(a_1,....,a_n)=[/mm] det [mm]\pmat{a_1 & 1 & 0 & ... & & \\ -1 & a_2 & 1 & 0 & ... & \\ 0 & -1 & a_3 & 1 & 0 & \\[/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm] 0 & 0 &-1 & ... & &0 \\ 0 & ... & & & ... & 1 \\ 0 & 0 & 0 &0 & -1 & a_n}[/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm] Zeigen Sie:[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm] Für [mm][mm]n\ge 3[/mm][/mm] ist[/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm] [mm][mm]\bruch{d_{n-1}(a_2,...,a_n)}{d_n(a_1,...,a_n)}[/mm] = [mm]\bruch{1}{a_1+ \bruch{1}{a_2+\bruch{1}{a_3+\bruch{1}{.... \bruch{1}{a_{n-1}+\bruch{1}{a_n}}}}}}[/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm] Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt.[/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm] [/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm]Hi, ich bin es schon wieder. Ich hoffe ich hab das mit dem Abschreiben in der Aufgabenstellung einigermaßen hinbekommen. [/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
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> [mm][mm][mm][mm][mm]Ich wollte das ganze per Induktion machen:[/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm] Induktionsanfang:[/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm] n=3[/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm] [mm]\bruch{d_2(a_2,a_3)}{d_3(a_1,a_2,a_3)}= \bruch{det \mat{a_2 & 1 \\ -1 & a_3}}{det \pmat{a_1 & 1 & 0 \\ -1 & a_2 & 1 \\ 0 & -1 & a_3}}[/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm] stellt sich jedoch für mich die Frage wie die Determinanten durcheinander teilen darf oder kann, jedenfalls möchte ich haben: [mm]= \bruch{1}{a_1+\bruch{1}{a_2+\bruch{1}{a_3}}}[/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm] Induktionsschluss:[/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm] [mm]\bruch{d_n(a_2,...,a_{n+1})}{d_{n+1}(a_1,...,a_{n+1})} =\bruch{1 (1...)}{d_n(a_1, 1...)}[/mm][/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm] [/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm]Grüße,[/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm] Marie [/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
Determinanten sind doch Zahlen, die kannst du ganz normal durcheinander teilen (solange du nicht durch 0 teilst). Berechne also diese beiden Determinanten z. B. mit der  Regel von Sarrus.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:22 Sa 26.04.2008 | | Autor: | xMariex |
Hi,
ich hab die beiden jetzt ausgerechnet und versucht umzuformen:
[mm]\bruch{d_2(a_2,a_3)}{d_3(a_1,a_2,a_3)}= \bruch{det \pmat{a_2 & 1 \\ -1 & a_3}}{det \pmat{a_1 & 1 & 0 \\ -1 & a_2 & 1 \\ 0 & -1 & a_3}} = \bruch{a_2a_3+1}{a_1a_2a_3+a_3+a_1}[/mm]
Jetzt möchte ich das irgendwie in den Kettenbruch umformen
Da mir das nicht so ganz gelungen ist, hab ich mir gedacht ich pobier das mal in die andere Richtung also den Kettenbruch den ich raus haben will umzuformen bis das obrige wieder da steht, hab mal mit dem unteresten angefangen und mich dann nach oben durch gerechnet:
[mm]\bruch{1}{a_1+\bruch{1}{a_2+\bruch{1}{a_3}}}[/mm]
erstmal nur unter ergänst:
[mm]a_1+\bruch{1}{\bruch{a_2a_3+1}{a_3}}= \bruch{ \bruch{a_1a_2a_3+1}{a_3}+1}{\bruch{a_2a_3+1}{a_3}} = \bruch{ \bruch{a_1a_2a_3+1+a_3}{a_3}}{\bruch{a_2a_3+1}{a_3}} = \bruch{a_1a_2a_3^2 + a_3 +a_3^2}{a_2a_3^2+a_3}[/mm]
Darüber steht ja noch die letzte eins also muss das ja so umgedreht sein, also der Kehrwert, was mich vielmehr sört sind die [mm]a_3[/mm]zu viel bzw. mein [mm]a_1[/mm] was nicht da ist.
Grüße,
Marie
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(Frage) überfällig | | Datum: | 22:41 So 27.04.2008 | | Autor: | lenz |
hallo
hab das ganze so versucht:
mit [mm] A^{n} [/mm] ist die matrix gemeint bei der die ersten n zeilen und spalten
gestrichen sind,mit [mm] A_{i,j}^{n} [/mm] ist die entwicklung nach der i-ten zeile und j-ten spalte der matrix gemeint bei der der die ersten nzeilen und spalten gestrichen wurden.die betragsstriche meinen "determinante von"
für n´=3 sieht es so aus:
[mm] \bruch{|A^{1}|}{ a_{1}|A^{1}|+|A_{2,1}|} [/mm] ,kürzen durch [mm] |A^{1}|
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{a_{1}+\bruch{|A_{2,1}|}{|A^{1}|}}
[/mm]
wenn ich jetzt weiterentwickle komme ich auf [mm] |A^{1}|=a_{2}|A^{2}|+|A_{2,1}^{1}|
[/mm]
[mm] |A_{2,1}|=|A^{2}|+|A_{2,1}^{1}|
[/mm]
also hab ich [mm] \bruch{1}{a_{1}+\bruch{|A^{2}|+|A_{2,1}^{1}|}{a_{2}|A^{2}|+|A_{2,1}^{1}|}}
[/mm]
jetzt komm ich irgendwie nicht weiter.es gelingt mir nicht das zu kürzen,
ist das mein fehler oder geht es nicht?
gruß lenz
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Di 29.04.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:30 Mo 28.04.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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