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Forum "Induktionsbeweise" - Induktion für ein Integral
Induktion für ein Integral < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Induktion für ein Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:36 Fr 29.01.2010
Autor: johnyan

Aufgabe
Finden Sie eine Formel für
[mm] \integral_{0}^{\infty}{x^n*e^{-x} dx} [/mm] , [mm] n\in\IN [/mm]
(Tip: Beweis durch Induktion).

Also eine Formel dafür hab ich schon mal gefunden, hoffe jedenfalls, dass sie richtig ist.

[mm] $\integral_{0}^{\infty}{x^n*e^{-x} dx} [/mm] = [mm] \left[\summe_{k=0}^{n} -e^{-x}*(x^n)^{(k)}\right]^\infty_0 [/mm] = n!$

nun hänge ich beim induktionsbeweis. induktionsanfang ist klar, aber dann beim induktionsschritt weiß ich nicht so genau, wie ich da vorgehen sollte. konkret weiß ich nicht genau, an welcher stelle ich meine Induktionsvoraussetzung einsetzen kann, wenn ich an der stelle bin

n [mm] \rightarrow [/mm] n+1

[mm] \integral_{0}^{\infty}{x^{n+1}*e^{-x} dx}=\integral_{0}^{\infty}{x^{n}*x*e^{-x} dx} [/mm]

        
Bezug
Induktion für ein Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:44 Fr 29.01.2010
Autor: chrisno

partielle Integration?

Bezug
        
Bezug
Induktion für ein Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:50 Fr 29.01.2010
Autor: steppenhahn

Hallo,

chrisno hat es bereits bemerkt: Du benötigst partielle Integration.

> n [mm]\rightarrow[/mm] n+1
>  
> [mm][mm] \integral_{0}^{\infty}{x^{n+1}*e^{-x} dx} [/mm]

Versuche nun partielle Integration mit v = [mm] x^{n+1}, [/mm] u' = [mm] e^{-x}. [/mm]

Grüße,
Stefan



Bezug
        
Bezug
Induktion für ein Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:07 Fr 29.01.2010
Autor: johnyan

aso, ja, hab nicht daran gedacht, dass ich auch mit einem nicht festen n integrieren kann.

[mm] \integral_{0}^{\infty}{x^{n+1}\cdot{}e^{-x} dx} [/mm]
[mm] =\left[-e^{-x}*x^{n+1}\right]_{0}^{\infty}+\integral_{0}^{\infty}{(n+1)x^{n}\cdot{}e^{-x} dx} [/mm]
[mm] =\left[\bruch{-x^{n+1}}{e^{x}}\right]_{0}^{\infty}+\integral_{0}^{\infty}{nx^{n}\cdot{}e^{-x} dx}+\integral_{0}^{\infty}{1x^{n}\cdot{}e^{-x} dx} [/mm]
[mm] =(I.V.)\left[\bruch{-x^{n+1}}{e^{x}}\right]_{0}^{\infty}+n*n!+n! [/mm]
=0+(n+1)n!=(n+1)!

Bezug
                
Bezug
Induktion für ein Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:00 Sa 30.01.2010
Autor: leduart

Hallo
richtig.
Gruss leduart

Bezug
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