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| Aufgabe | Beweisen Sie mittels vollstädiger Induktion den Satz:
[mm](\forall n: n\in\IN : n^2 - 1 \le 2^n)[/mm]
Anstelle einer Gleichungskette müssen Sie jetzt eine Kette von [mm]\le[/mm] verwenden. Kommentieren Sie jede [mm]\le[/mm]-Beziehung, etwa durch "Induktionsannahme" oder durch Aussagen wie "[mm]2 \le (n - 1)[/mm] für [mm]n \ge 5[/mm]". Wählen Sie einen geeigneten Basisfall und zeigen Sie die durch den Induktionsbeweis nicht abgedeckten Fälle. |
Hallo,
ich hänge derzeit an dieser Induktion einer Ungleichung fest.
Soweit bin ich bisher gekommen:
Induktions-Anfang:
[mm]n = 0:
0^2 - 1 \le 2^0[/mm]
[mm]-1 \le 1[/mm]
Induktions-Annahme:
[mm]n \to n + 1[/mm]
Induktions-Schritt
[mm](n+1)^2 - 1 \le 2^{n+1}[/mm]
[mm]n^2 + 2n + 1 \le 2*2^n[/mm]
Ab diesem Schritt weis ich nicht mehr, welche weitern Umformungen ich vornehmen soll bzw wo ich damit überhaupt hin will. Wäre nett, wenn mir jemand darstellen könnte, in welche Richtung ich die Ungleichung weiter bearbeiten muss. Mir ist irgendwie nicht klar, was überhaupt mein Ziel ist, da es ja keine Gleichheit wie bei der Induktion mit Gleichungen gibt, die man aufzeigen kann.
Die Übung zu Induktion mit Ungleichungen ist dank Feiertag leider ausgefallen, d.h. wir dürfen uns das selbst erarbeiten :(.
Danke für sämtliche Hinweise
hammerhai
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo hammerhai,
> Beweisen Sie mittels vollstädiger Induktion den Satz:
> [mm](\forall n: n\in\IN : n^2 - 1 \le 2^n)[/mm]
> Anstelle einer
> Gleichungskette müssen Sie jetzt eine Kette von [mm]\le[/mm]
> verwenden. Kommentieren Sie jede [mm]\le[/mm]-Beziehung, etwa durch
> "Induktionsannahme" oder durch Aussagen wie "[mm]2 \le (n - 1)[/mm]
> für [mm]n \ge 5[/mm]". Wählen Sie einen geeigneten Basisfall und
> zeigen Sie die durch den Induktionsbeweis nicht abgedeckten
> Fälle.
> Hallo,
>
> ich hänge derzeit an dieser Induktion einer Ungleichung
> fest.
>
> Soweit bin ich bisher gekommen:
>
> Induktions-Anfang:
> [mm]n = 0:
0^2 - 1 \le 2^0[/mm]
> [mm]-1 \le 1[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Induktions-Annahme:
> [mm]n \to n + 1[/mm]
> Induktions-Schritt
> [mm](n+1)^2 - 1 \le 2^{n+1}[/mm]
> [mm]n^2 + 2n + 1 \le 2*2^n[/mm]
Hier hast du was verdreht.
Induktionschritt: [mm] $n\to [/mm] n+1$
Induktionsannahme/Ind.vorausssetzung: Die Beh gelte für ein [mm] $n\in\IN$, [/mm] also gelte [mm] $n^2-1\le 2^n$
[/mm]
Im eigentlichen Beweis musst du nun zeigen, dass unter dieser Ind.annahme gefälligst auch [mm] $(n+1)^2-1\le 2^{n+1}$ [/mm] ist
Dazu nimm die linke Seite und versuche, die rechte mithilfe der Ind.annahme "hinzubasteln"
[mm] $(n+1)^2-1=n^2+2n+1-1=(\red{n^2-1})+(2n+1)\,\blue{\le}\, \red{2^n}+(2n+1)$
[/mm]
Das gilt nach Induktionsannahme.
Nun musst du das 2n+1 noch abschätzen gegen [mm] 2^n.
[/mm]
Dann hättest du [mm] $2^n+(2n+1)\le 2^n+2^n=2^{n+1}$ [/mm]
Und das wäre dann genau die linke Seite.
Nun musst du noch begründen, wieso denn [mm] 2n+1\le 2^n [/mm] ist und - im Sinne des Aufgabentextes - für welche n das denn gilt.
Dementsprechend solltest du die Beh. noch für alle kleineren n, für diese wesentliche Abschätzung nicht gilt, explizit prüfen.
Also quasi den Induktionsanfang "verlängern" bis zu dem fraglichen n, für das die Abschätzung gilt
LG
schachuzipus
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