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Hi Leute, also ich sehe hier gerade den weg nicht so recht,
bin gerade mit dem harro heuser ANA1 hier am lernen, er schreibt da
[mm] (1+\bruch{1}{1})^1(1+\bruch{1}{2})^2 (1+\bruch{1}{3})^3 ***(1+\bruch{1}{n-1})^n=\bruch{n^n}{n!}
[/mm]
was induktiv bewiesen werden soll
ich habe das dann erst einmal umgeformt, wegen platz bedarf:
n [mm] \in \IN [/mm] n [mm] \ge2
[/mm]
[mm] \produkt_{i=1}^{n}(1 [/mm] + [mm] \bruch{1}{n-1})^{(n-1)}=\bruch{n^n}{n!}
[/mm]
so, INDUKTIONSANFANG:
n=2
[mm] (1+\bruch{1}{2-1})^{2-1} [/mm] = [mm] 2^2 [/mm] / 2! [mm] \Rightarrow [/mm] 2 = [mm] \bruch {4}{2}\Rightarrow [/mm] 2=2
was mich zu der annahme hinnreissen lässt das obige aussage fuer n gilt ;)
nun folgt:
[mm] n\Rightarrow [/mm] n+1
[mm] \produkt_{i=1}^{n+1}(1 [/mm] + [mm] \bruch{1}{n-1})^{(n-1)} \gdw
[/mm]
[mm] \produkt_{i=1}^{n}(1 [/mm] + [mm] \bruch{1}{n-1})^{(n-1)} [/mm] * [mm] (1+\bruch{1}{n-1})^n
[/mm]
so, nun benutze ich unsere Induktionsvorraussetzung:
IV= [mm] \bruch{n^n}{n!}*(1+\bruch{1}{n-1})^n
[/mm]
dann mache ich weiter mit
= [mm] \bruch{n^n *(1+\bruch{1}{n^n}) }{n!} [/mm]
so, nun kommt die stelle wo ich nicht mehr weiter weiss und zwar nach dem ausmultiplizieren habe ich dort :
= [mm] \bruch{n^n +\bruch{n^n}{n^n} }{n!} [/mm]
stehen was ja gleichbeteutend mit:
= [mm] \bruch{n^n +1}{n!} [/mm]
ist,
aber sollte nicht irgendwie
[mm] =\bruch{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}
[/mm]
da stehen ?!?!?
was mache ich falsch ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:12 Di 22.02.2005 | | Autor: | andreas |
hi
was vielleicht etwas zu verwirrungen führt ist, dass der laufindex und die obere grenze des produktes gleich - nämlich jeweils mit $n$ - bezeichnet werden?
kann es sein, dass hier eine $-1$ verloren gegenagen ist?
> [mm](1+\bruch{1}{1})^1(1+\bruch{1}{2})^2 (1+\bruch{1}{3})^3 ***(1+\bruch{1}{n-1})^{n\red{-1}}=\bruch{n^n}{n!}
[/mm]
>
>
> was induktiv bewiesen werden soll
> ich habe das dann erst einmal umgeformt, wegen platz
> bedarf:
an dieser stelle sollte dann im produkt wohl anstatt einem $n$ stets ein $i$ vorkommen, also statt
> n [mm]\in \IN[/mm] n [mm]\ge2
[/mm]
>
> [mm]\produkt_{i=1}^{n}(1[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{n-1})^{(n-1)}=\bruch{n^n}{n!}
[/mm]
sollte es
[mm]\produkt_{i=2}^{n}(1 + \bruch{1}{i-1})^{(i-1)}=\bruch{n^n}{n!}
[/mm]
heißen (der produkt index sollte erst ab $i=2$ laufen, denn für $i=1$ würdest du durch $0$ dividieren)?
> so, INDUKTIONSANFANG:
>
> n=2
> [mm](1+\bruch{1}{2-1})^{2-1}[/mm] = [mm]2^2[/mm] / 2! [mm]\Rightarrow[/mm] 2 = [mm]\bruch {4}{2}\Rightarrow[/mm]
> 2=2
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> was mich zu der annahme hinnreissen lässt das obige aussage
> fuer n gilt ;)
>
> nun folgt:
>
> [mm]n\Rightarrow n+1 [/mm]
also erstmal aufspalten des produkts:
[m] \prod_{i=2}^{n+1} \left( 1 + \frac{1}{i-1} \right)^{i-1} = \prod_{i=2}^{n} \left( 1 + \frac{1}{i-1} \right)^{i-1} \left(1 + \frac{1}{n+1-1} \right)^{n+1-1} = \prod_{i=2}^{n} \left( 1 + \frac{1}{i-1} \right)^{i-1} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^{n} [/m]
nun kann man für das erste produkt die induktionsvorraussetzung einsetzen und danach den letzten faktor auf den hauptnenner bringen:
[m] = \frac{n^n}{n!} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^{n} = \frac{n^n}{n!}\left( \frac{n+1}{n} \right)^n = \frac{n^n}{n!} \cdot \frac{(n+1)^n}{n^n} [/m]
jetzt solltest du es alleine zum ziel [m] \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} [/m] schaffen - wenn nicth melde dich nochmal.
grüße
andreas
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> [m]= \frac{n^n}{n!} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^{n} = \frac{n^n}{n!}\left( \frac{n+1}{n} \right)^n = \frac{n^n}{n!} \cdot \frac{(n+1)^n}{n^n}[/m]
>
so, bis hierhin war ich auch schon en paar mal,
wenn ich nun [mm] n^n [/mm] wegkuerze habe ich nur noch [mm] \bruch{(n+1)^n}{n!} [/mm] da stehen, also murx,
wenn ich auf dem bruchstrich rumrechne komme ich auf die obskuren ergebnisse :
[mm] n^n(1+n^n) [/mm]
was bei meiner rechenmethode immer [mm] n^n [/mm] + [mm] n^n*n^n [/mm] ist, was sehe ich denn nun nicht, ist das [mm] (n+1)^{n+1} [/mm] ?
>
> jetzt solltest du es alleine zum ziel
> [m]\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}[/m] schaffen - wenn nicth melde dich
> nochmal.
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>
> grüße
> andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:59 Di 22.02.2005 | | Autor: | andreas |
hi
ein ganz kurzer tipp: erweitere mal mit $(n+1)$!
grüße
andreas
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jaaaaaaaaa, wenn ich mit (n+1)! erweitere, dann sehe ich es
[mm] \bruch{n^n}{n!}*\bruch{(n+1)^n}{n^n}= \bruch{n^n(n+1)^n}{n!n^n} [/mm]
nun erweitern mit (n+1 )!
[mm] \bruch{n^n(n+1)^n(n+1)!}{n!n^n(n+1)!} [/mm]
kuerzen von [mm] n^n [/mm] ergibt
[mm] \bruch{(n+1)^n(n+1)!}{n!(n+1)!} [/mm]
naja, jetzt noch kuerzen von n! dann haben wir das gesuchte
[mm] \bruch{(n+1)^n * n}{1*(n+1)!} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}
[/mm]
:)
ok, dann komme ich zu der abschliessenden erkenntnis, dfas ein normalsterblicher nicht versuchen sollte auf gedeih und verderb rumzurechnen wo nix geht, sondern einfach mal mit dem gewuenschten erweitern ... ;) diese methode begegnet mir nun immer haeufiger, anfangs ( als ich noch induktion gelernt habe ) habe ich mir immer das ergebniss hingeschrieben, also einfach alle n's durch n+1'se ersetzt ... ;) dann habe ich gelernt das man das eigentlich nicht so macht, und immer das gegebene hinschreibt, und dann schrittweise zu dem gewuenschten kommt...
naja, man sollte aber immer das ergebniss neben sich liegen haben, und dann mit allen elementen erweiotern kuerzen pipapo ... wo gibt es tips und tricks zu diesem thema, wenn ich mir die naechste aufgabe angucke kommt direkt wieder so was, wie kann ich die intuition entwickeln mit (n+^)! zu erweitern ?!??!?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 Di 22.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Christian als ehrlichbemühter  !!
Da hat sich Andreas leider etwas unglücklich ausgedrückt.
Er meinte eine Erweiterung mit "$(n+1)$"
(Ohne Fakultät !!!)
[mm] $\bruch{n^n}{n!}*\bruch{(n+1)^n}{n^n}$
[/mm]
Zunächst durch [mm] $n^n$ [/mm] kürzen:
$= [mm] \bruch{(n+1)^n}{n!}$
[/mm]
Nun wie oben angedeutet mit $(n+1)$ erweitern:
$= [mm] \bruch{(n+1)^n}{n!} [/mm] * [mm] \bruch{n+1}{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(n+1)^n * (n+1)}{n! * (n+1)}$
[/mm]
Wie kann man nun im Zähler und im Nenner zusammenfassen?
Loddar
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also, mit (n+1) zu erweitern ist wahrscheinlich die elegantere methode ....
da ja dann direkt [mm] \bruch{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} [/mm] folgert... ;=)
aber mit (n+1)! hat ja auch geklappt ;)
trotzdem weiss ich nicht wie ich auf so etwas kommen soll wenn ich mir nur die formel angucke .. ;(((((
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:53 Di 22.02.2005 | | Autor: | Loddar |
> trotzdem weiss ich nicht wie ich auf so etwas kommen soll
> wenn ich mir nur die formel angucke .. ;(((((
Naja - immerhin weiß man vollständiger Induktion doch (meistens), wo man mit seinen Umformungen landen möchte.
Daher sollte man das gewünschte Ergebnis immer im Augenwinkel haben ...
Loddar
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