Induktion Ungleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Beweisen sie für alle [mm] n\in \IN [/mm] y>0 [mm] exp(-1/y)
und leiten sie daraus her [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0}x^alog(x)=0 [/mm] |
Mahlzeit
Ich bräuchte etwas Unterstützung bei beiden Aufgabenteilen.
Zu dem Beweis: da die Ungleichung für alle n gelten soll, bin ich gleich mal mit Induktion rangesprungen und tragisch gescheitert, da am Ende die Ungleichung nicht für alle n gegolten hat.
IV: [mm] exp(-\bruch{1}{y})<(n)!y^{n}
[/mm]
IB:
[mm] exp(-\bruch{1}{y})<(n+1)!y^{n+1}
[/mm]
[mm] IS:(n+1)!y^{n+1}=n!y^n(n+1)y>(IV) exp(-\bruch{1}{y})(n+1)y>exp(-\bruch{1}{y})
[/mm]
und die letzte Ungleichung stimmt nicht mehr, da nach nen bisschen umstellen [mm] y>\bruch{1}{n+1}, [/mm] somit gilt das nicht für alle n und y
Was mach ich falsch?
Und beim zweiten Teil ist einfach ???. Ich weiß nicht was formal geschehen soll. Achso a>0
Danke für etwaige Denkanstöße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:20 Mi 15.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> [mm] IS:(n+1)!y^{n+1}=n!y^n(n+1)y>(IV) exp(-\bruch{1}{y})(n+1)y>exp(-\bruch{1}{y})
[/mm]
> und die letzte Ungleichung stimmt nicht mehr
Das muss sie auch nicht, trotzdem kann der erste Term größer sein als der letzte, wie das Beispiel " 5 > 3 > 4 " zeigt.
Weil deine Umformungsschritte sonst alle richtig sind, lautet mein Tipp : Versuche etwas Anderes als Induktion, etwa Folgendes : Substituiere $ x = [mm] \bruch{1}{y} [/mm] $ und nimm auf beiden Seiten den Kehrwert.
Gruß Sax.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:46 Mi 15.01.2014 | | Autor: | MadHatter |
Danke für die Antwort
Mir ist nur nicht ganz klar was die Substitution bringen soll.
Damit wird ja nur der Zahlenbereich verschoben, die Unstimmigkeit bleibt bestehen. Und was anderes als Induktion fällt mir bei "zeigen sie für alle [mm] n\in\IN" [/mm] nicht ein, es sei den das n würde irgendwann rausfliegen, aber das sehe ich hier nicht.
Noch ne Idee zum zweiten Teil?
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