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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:38 Sa 17.04.2010 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Zeigen Sie für alle n [mm] \in \IN:
[/mm]
a, [mm] \bruch{n^7-n}{42}
[/mm]
b, [mm] \bruch{1000^n-1}{37} [/mm] |
Hallo,
die beiden Aufgabe müssten mit vollständiger Induktions lösbar sein. Bei Divison durch 42, muss der Zähler entweder Null sein oder ein Vielfaches von 42 sein, damit eine natürliche Zahl als Lösung rauskommt.
Somit ergibt sich [mm] n^7-n [/mm] = 42a (a [mm] \in \IN [/mm] mit der Null)
Für a:
1. Induktionsanfang n = 1:
[mm] 1^7-1 [/mm] = 0
Ist ein Vielfaches von 42a (a [mm] \in \IN).
[/mm]
2. Induktionsschluss
a, Induktionsannahme: für n,a [mm] \in \IN [/mm] gilt: [mm] n^7-n [/mm] = 42a
b, Induktionsbehauptung für n -> n+1: [mm] (n+1)^7-(n+1) [/mm] = 42a
c, Induktionsbeweis:
[mm] (n+1)^7-(n+1) [/mm] = [mm] n^7+7n^6+21n^5+35n^4+21n^2+7n-n [/mm] = [mm] n^7-n+7n^6+21n^5+35n^4+21n^2+7n
[/mm]
[mm] n^7-n [/mm] ist ein Vielfaches von 42 laut Induktionsannahme, somit bleibt der Teil [mm] 7n^6+21n^5+35n^4+21n^2+7n [/mm] übrig.
Wie zeige ich nun, das dies auch ein Vielfaches von 42 ist?
Gruß
itse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:17 So 18.04.2010 | | Autor: | abakus |
> Zeigen Sie für alle n [mm]\in \IN:[/mm]
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> a, [mm]\bruch{n^7-n}{42}[/mm]
Hallo,
das soll sicher heißen: [mm] 42|(n^7-n).
[/mm]
Eine Zahl ist genau dann durch 42 teilbar, wenn sie durch 2, 3 und 7 teilbar ist.
Das sollte für [mm] n^7-n=n(n^6-1)=n(n^3-1)(n^3+1) [/mm] auch ohne Induktion machbar sein.
(durch 2 ist trivial, für 3 mache eine Fallunterscheidung der möglichen reste mod 3, und für 7 geht am schnellsten der kleine Fermat.)
>
> b, [mm]\bruch{1000^n-1}{37}[/mm]
> Hallo,
>
> die beiden Aufgabe müssten mit vollständiger Induktions
> lösbar sein. Bei Divison durch 42, muss der Zähler
> entweder Null sein oder ein Vielfaches von 42 sein, damit
> eine natürliche Zahl als Lösung rauskommt.
>
> Somit ergibt sich [mm]n^7-n[/mm] = 42a (a [mm]\in \IN[/mm] mit der Null)
>
> Für a:
> 1. Induktionsanfang n = 1:
>
> [mm]1^7-1[/mm] = 0
>
> Ist ein Vielfaches von 42a (a [mm]\in \IN).[/mm]
>
> 2. Induktionsschluss
> a, Induktionsannahme: für n,a [mm]\in \IN[/mm] gilt: [mm]n^7-n[/mm] = 42a
> b, Induktionsbehauptung für n -> n+1: [mm](n+1)^7-(n+1)[/mm] =
> 42a
>
> c, Induktionsbeweis:
>
> [mm](n+1)^7-(n+1)[/mm] = [mm]n^7+7n^6+21n^5+35n^4+21n^2+7n-n[/mm] =
> [mm]n^7-n+7n^6+21n^5+35n^4+21n^2+7n[/mm]
>
> [mm]n^7-n[/mm] ist ein Vielfaches von 42 laut Induktionsannahme,
> somit bleibt der Teil [mm]7n^6+21n^5+35n^4+21n^2+7n[/mm] übrig.
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> Wie zeige ich nun, das dies auch ein Vielfaches von 42
> ist?
7 ausklammern und zeigen, dass der Rest durch 6 teilbar ist.
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> Gruß
> itse
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