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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 Mo 19.11.2007 | | Autor: | Smex |
| Aufgabe | Durch <f,g>:= [mm] \integral_{0}^{\infty}{e^-^xf(x)g(x) dx} [/mm] ist ein Skalarprodukt auf [mm] C[0,\infty) [/mm] gegeben, Zeigen sie per Induktion, dass [mm] <1,x^k> [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\infty}{e^-^xx^k dx} [/mm] = k! gilt.
Hinweis: Nutzen sie partielle Integration |
Also ich komm mit der Aufgabe im Moment überhaupt nicht klar und wäre sehr dankbar, wenn mir jemand einen Ansatz liefern könnte, oder mir sagen könnte, was man hier induzieren soll.
Vielen Dank
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> Durch <f,g>:= [mm]\integral_{0}^{\infty}{e^-^xf(x)g(x) dx}[/mm] ist
> ein Skalarprodukt auf [mm]C[0,\infty)[/mm] gegeben, Zeigen sie per
> Induktion, dass [mm]<1,x^k>[/mm] = [mm]\integral_{0}^{\infty}{e^-^xx^k dx}[/mm]
> = k! gilt.
> Hinweis: Nutzen sie partielle Integration
> Also ich komm mit der Aufgabe im Moment überhaupt nicht
> klar und wäre sehr dankbar, wenn mir jemand einen Ansatz
> liefern könnte, oder mir sagen könnte, was man hier
> induzieren soll.
Hallo,
zu zeigen ist hier, daß
[mm] <1,x^k>(= \integral_{0}^{\infty}{e^-^xx^k dx})= [/mm] k! für alle [mm] k\in \IN [/mm] gilt.
Das Hauptaugenmerk liegt hierbei auf
[mm] <1,x^k>=k!,
[/mm]
[mm] <1,x^k>= \integral_{0}^{\infty}{e^-^xx^k dx} [/mm] ist ja rein nach Definition, da gibt's nichts zu zeigen. Natürlich mußt Du diese Def. verwenden, denn sie erklärt ja gerade, was [mm] <1,x^k> [/mm] bedeuten soll.
Induzieren sollst Du über k.
Im Induktionsanfang zeige: [mm] <1,x^1>=1!
[/mm]
Die Ind vor. ist dann, daß [mm] <1,x^k>=k! [/mm] richtig ist für alle [mm] k\in \IN.
[/mm]
Im Induktionsschluß zeige, daß [mm] <1,x^{k+1}>=(k+1)! [/mm] unter der Ind.vor. richtig ist.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:06 Mo 19.11.2007 | | Autor: | Smex |
Aah natürlich, jetzt sehe ichs auch, vielen lieben Dank!!
Gruß Smex
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