Induktion Binomialkoeffizient < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:53 Di 09.09.2008 | | Autor: | cerox |
| Aufgabe | Beweisen Sie:
[mm] \vektor{x + y\\ n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{x \\ n-k}\vektor{y \\ k}
[/mm]
x, y [mm] \in \IR [/mm] , n [mm] \in \IN [/mm] |
Hallo zusammen.
Sitze nach einiger Rechnerei etwas ratlos vor dieser Aufgabe. Ist wohl durch vollständige Induktion zu lösen, da sie aus einem Kapitel zu diesem Thema ist. Vermutlich kenne ich einen Satz nicht, den man im Induktionsschritt braucht. Bin für jeden Hinweis dankbar.
MfG
cerox
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:06 Di 09.09.2008 | | Autor: | pelzig |
Bist du sicher, dass [mm] $x,y\in\IR$ [/mm] sind, also es sich hier um die verallgemeinerten Binomialkoeffizienten handelt? Ich kenne diese Formel für natürliche Zahlen als Vandermondesche Identität...
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:22 Di 09.09.2008 | | Autor: | cerox |
Ja, steht eindeutig dabei.
Allerdings wurde vor der Aufgabe im Skript definiert:
[mm] \vektor{x \\ k} [/mm] := [mm] \produkt_{j=1}^{k} \bruch{x-j+1}{j}
[/mm]
für x [mm] \in \IR [/mm] und k [mm] \in \IN [/mm] .
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:43 Mi 10.09.2008 | | Autor: | pelzig |
Also für [mm] $x,y\in\IN$ [/mm] gibt es einen sehr schönen Beweis, vielleicht nützt er dir ja auch was.
Die Idee ist folgende, man betrachtet ein Polynom [mm] $(a,b)^{x+y}$ [/mm] und erhält mit dem Binomischen Satz: [mm] $$\sum_{i=0}^{x+y}\binom{x+y}{i}a^ib^{x+y-i}=(a+b)^{x+y}=(a+b)^x\cdot(a+b)^y=\left(\sum_{k=0}^x\binom{x}{k}a^kb^{x-k}\right)\cdot\left(\sum_{l=0}^y\binom{y}{l}a^lb^{y-l}\right)=\sum_{k=0}^x\sum_{l=0}^y\binom{x}{k}\binom{y}{l}a^{k+l}b^{x+y-(k+l)}$$Und [/mm] durch Koeffizientenvergleich erhält man genau die gesuchte Beziehung.
Laut Wikipedia gibt es eine Verallgemeinerung des Binomischen Satzes für Reelle und Komplexe Exponenten, bei der auch die verallgemeinerten Binomialkoeffizienten ins Spiel kommen. Natürlich müsste man das Cauchy-Produkt zur Multiplikation der Reihen nehmen, keine Ahnung ob es klappt.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:16 Mi 10.09.2008 | | Autor: | cerox |
Ok, danke.
Könnte man die Vandermondesche Identität auch durch vollständige Induktion beweisen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 Mi 10.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ok, danke.
>
> Könnte man die Vandermondesche Identität auch durch
> vollständige Induktion beweisen?
ja, ich denke, dass das gehen sollte. Für $n=1$ (oder $n=0$) ist die Behauptung klar.
$n [mm] \mapsto [/mm] n+1$:
${x+y [mm] \choose n+1}=\frac{\blue{\left(\produkt_{j=0}^{n-1} (x+y-j)\right)}*(x+y-n)}{\blue{n!}*(n+1)}=\blue{{x+y \choose n}}*\frac{x+y-n}{n+1}=\frac{x+y-n}{n+1}*\summe_{k=0}^{n}{x \choose n-k}{y \choose k}$
[/mm]
und von diesem Term musst Du nun zeigen, dass er [mm] $=\summe_{k=0}^{n+1}{x \choose n+1-k}{y \choose k}$ [/mm] ist. Äquivalent dazu: Es ist nun noch
[mm] $(x+y-n)*\summe_{k=0}^{n}{x \choose n-k}{y \choose k}=(n+1)*\summe_{k=0}^{n+1}{x \choose n+1-k}{y \choose k}$ [/mm] zu beweisen.
Ich würde dabei mit der rechten Seite anfangen:
[mm] $(n+1)*\summe_{k=0}^{n+1}{x \choose n+1-k}{y \choose k}=\summe_{k=0}^{n+1}\left\{(n+1)*{x \choose n+1-k}{y \choose k}\right\}$
[/mm]
Nun kannst Du ${x [mm] \choose [/mm] n+1-k}={x [mm] \choose n-k}*\frac{x-(n-k)}{n+1-k}$ [/mm] für $k=0,...,n$ ausnutzen...
Naja, so ganz offensichtlich erscheint mir das noch nicht, insbesondere prüfe das bitte alles mal auf Rechenfehler meinerseits und vielleicht siehst Du noch einen entscheidenden "Kniff" 
Gruß,
Marcel
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