Induktion Binärdarstellung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:53 So 21.11.2004 | | Autor: | Reaper |
Zeigen Sie mit Induktion, dass jede natürliche Zahl eine Binärdarstellung besitzt:
[mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN0 \exists [/mm] k [mm] \in \IN \exists [/mm] a0,....,ak [mm] \in [/mm] {0,1} : n = [mm] \summe_{i=0}^{k} a_{i} 2^{i}
[/mm]
Hat wer ne Ahnung wie die Induktion funktionieren könnte?
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Ich denke mal, daß das so funktionieren könnte:
Für n=0 funktioniert die Sache natürlich.
Wenn sie für n funktioniert, gilt also
[mm]n= \summe_{i=0}^{k}{a_i2^i}[/mm].
Rechnen wir +1 steht da
[mm]n+1= \summe_{i=0}^{k}{a_i2^i}+2^0[/mm].
War [mm]a_0[/mm] vorher =0, so ist jetzt [mm]a_0=1[/mm] und der Fall ist klar. War [mm]a_0=1[/mm], so haben wir jetzt ja insgesamt 2 da stehen und [mm]a_0=0[/mm] sowie [mm]a_1=1[/mm], sofern vorher [mm]a_1=0[/mm] war, und so setzt sich das Spielchen fort, auf jeden Fall ist man aber in einer endlichen Anzahl von Schritten fertig, und das ist es, was wir zeigen wollten.
Vielleicht fällt irgendeinem aber auch noch was schöneres ein,
Gruß,
Christian
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