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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:43 Do 01.11.2007 | | Autor: | howtoadd |
| Aufgabe 1 | Sei n [mm] \in \IN [/mm] und seien (a), (b) [mm] \in [/mm] U(n).
a) zeigen sie, dass auch (ab) [mm] \in [/mm] U(n).
b) Zeigen, dass U(n) eine gruppe ist unter Multiplikation.
Seien (a), (b), (c) [mm] \in [/mm] U(n) mit (a) [mm] \not= [/mm] (b). zeigen sie, dass dann ac [mm] \not= [/mm] bc mod n. |
| Aufgabe 2 | Seien a [mm] \in \IZ [/mm] und n [mm] \in \IN. [/mm] dann ist (a) [mm] \in \IZ [/mm] / n [mm] \IZ [/mm] eine Einheit in [mm] \IZ [/mm] / n [mm] \IZ [/mm] , falls ein x [mm] \in \IZ [/mm] existiert mit (x) (a) = (1) . Offensichtlich ist (1) immer eine Einheit, egal welches n genommen wird. Bei vorgegebenem n sei U (n) die Menge der Einheiten in [mm] \IZ [/mm] n [mm] \IZ [/mm] .
z.B gilt U (6) = [mm] \{ (1), (5) \} [/mm] und U (8) = [mm] \{ (1),(3), (5) \}
[/mm]
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Was ist dann U (20)?
Ich verstehe nicht, wie man bei U (6) und U (8) auf die anderen Zahlen gekommen ist! Wie macht man das?
in der 1 aufgabe weiß ich nicht, worum es wirklich geht... Was möchte der Aufgabensteller? kann mir jemand Hilfestellungen geben oder auch Internetseiten, an denen solche aufgaben erklärt werden und mögliche tipps zur lösung?
Dankeschön im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei n [mm]\in \IN[/mm] und seien (a), (b) [mm]\in[/mm] U(n).
> a) zeigen sie, dass auch (ab) [mm]\in[/mm] U(n).
> b) Zeigen, dass U(n) eine gruppe ist unter
> Multiplikation.
>
> Seien (a), (b), (c) [mm]\in[/mm] U(n) mit (a) [mm]\not=[/mm] (b). zeigen sie,
> dass dann ac [mm]\not=[/mm] bc mod n.
> Seien a [mm]\in \IZ[/mm] und n [mm]\in \IN.[/mm] dann ist (a) [mm]\in \IZ[/mm] /
> n [mm]\IZ[/mm] eine Einheit in [mm]\IZ[/mm] / n [mm]\IZ[/mm] , falls ein x [mm]\in \IZ[/mm]
> existiert mit (x) (a) = (1) . Offensichtlich ist (1) immer
> eine Einheit, egal welches n genommen wird. Bei
> vorgegebenem n sei U (n) die Menge der Einheiten in [mm]\IZ[/mm] n
> [mm]\IZ[/mm] .
> z.B gilt U (6) = [mm]\{ (1), (5) \}[/mm] und U (8) = [mm]\{ (1),(3), (5) \}[/mm]
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> Was ist dann U (20)?
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> Ich verstehe nicht, wie man bei U (6) und U (8) auf die
> anderen Zahlen gekommen ist! Wie macht man das?
>
> in der 1 aufgabe weiß ich nicht, worum es wirklich geht...
> Was möchte der Aufgabensteller? kann mir jemand
> Hilfestellungen geben oder auch Internetseiten, an denen
> solche aufgaben erklärt werden und mögliche tipps zur
> lösung?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Wenn ich meinen ganzen Scharfsinn zusammenkratze, gelange ich zu der Auffassung, daß Aufgabe 2 eigentlich die erste ist.
Fangen wir also hiermit an.
zu Aufgabe 2)
Es geht hier also um [mm] \IZ [/mm] / [mm] n\IZ [/mm] , die Restklassen modulo n.
Daß Du mit diesen halbwegs umgehen kannst, setze ich voraus.
Für [mm] \IZ [/mm] / [mm] n\IZ [/mm] wird nun eine Teilmenge U(n) von Für [mm] \IZ [/mm] / [mm] n\IZ [/mm] erklärt: U(n) enthält alle invertierbaren Elemente aus [mm] \IZ [/mm] / [mm] n\IZ.
[/mm]
Was sind invertierbare Elemente? Die, für die man ein Element findet so, daß das Produkt der beiden das neutrale Element ergibt.
Die beiden Beispiele: [mm] \IZ [/mm] / [mm] 6\IZ =\{(0)_6, (1)_6, (2)_6, (3)_6, (4)_6, (5)_6 \}.
[/mm]
Wenn Du nun die Verknüfungstafel für die Multiplikation aufstellst, siehst Du, daß nur in den Zeilen von [mm] (1)_6 [/mm] und [mm] (5)_6 [/mm] die [mm] (1)_6 [/mm] vorkommt. Also sind nur diese beiden Elemente invertierbar.
Also ist [mm] U(6)=\{(1)_6,(5)_6\}.
[/mm]
Und genauso geht das für U(8) und U(20).
Aufgabe 1) solltest Du erst bearbeiten, wenn Du 2) richtig verstanden hast.
Auch hier geht es wieder um die Restklassen modulo n, und Du benötigst hier die Kenntnisse aus der Vorlesung über das Rechnen mit Restklassen.
In a) sollst Du zeigen, daß wenn [mm] (a)_n [/mm] und [mm] (b)_n [/mm] invertierbar sind, auch [mm] (ab)_n [/mm] invertierbar ist.
In b) ist die Gültigkeit aller Gruppenaxiome zu zeigen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 So 04.11.2007 | | Autor: | howtoadd |
erstmal vielen dank... habe die ersten aufgaben auch nun lösen können!! danke!!
ich komme nur jetzt mit b.) nicht voran... wie kann ich denn die gültigkeit aller gruppenaxiome zeigen???
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> ich komme nur jetzt mit b.) nicht voran... wie kann ich
> denn die gültigkeit aller gruppenaxiome zeigen???
Hallo,
wie heißen denn die Gruppenaxiome, und an welcher Stelle hast Du Probleme?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 So 04.11.2007 | | Autor: | howtoadd |
zeigen sie, dass U(n) eine gruppe ist unter Multiplikation.
du meintest: es ginge um den beweis aller gruppenaxiome.
damit konnte ich nicht ganz zurecht kommen, wie löse ich die Aufgabe? geht es um das Assoziativgesetz? also, wie soll ich denn zeigen, dass U(n) eine gruppe der multiplikation ist, meine ich.
dankeschön um deine Bemühungen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:10 So 04.11.2007 | | Autor: | howtoadd |
sei n [mm] \in \IN [/mm] und seien (a), (b) [mm] \in [/mm] U(n).
zeigen sie, dass U(n) eine gruppe ist unter Multiplikation.
so lautet die aufgabe (habe sie eben ausversehen nur halb geschrieben)
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> zeigen sie, dass U(n) eine gruppe ist unter
> Multiplikation.
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> du meintest: es ginge um den beweis aller gruppenaxiome.
>
> damit konnte ich nicht ganz zurecht kommen, wie löse ich
> die Aufgabe? geht es um das Assoziativgesetz? also, wie
> soll ich denn zeigen, dass U(n) eine gruppe der
> multiplikation ist, meine ich.
Kennst Du denn die Gruppenaxiome?
Du mußt zeigen:
1. Die Menge ist nichtleer.
2. Die Verknüpfung zweier beliebiger Element liegt drin
3. Das Assoziativgesetz gilt
4. Es gibt ein neutrales Element
5. Jedes Element hat ein Inverses.
Beim Beweis darfst Du auf die Rechenregeln für Restklassen, die Ihr bereits gelernt habt, zurückgreifen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 So 04.11.2007 | | Autor: | howtoadd |
die gruppenaxiome kenne ich leider nicht
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> die gruppenaxiome kenne ich leider nicht
Das kann nun zweierlei bedeuten:
Entweder war der Gruppenbegriff in der Vorlesung noch nicht dran.
Dann ist die Aufgabe mit Mitteln aus der Vorlesung nicht zu lösen.
Oder Du hast sie aus irgendeinem Grund verpaßt.
Dann mußt Du Dich schleunigst damit vertraut machen.
Etwas informell hatte ich Dir ja bereits mitgeteilt, was Du zeigen mußt, so daß Du eigentlcih in der Lage sein solltest, zu beginnen.
Gruß v, Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 So 04.11.2007 | | Autor: | howtoadd |
die aufgaben haben meist nicht viel mit den seminaren zu tun.... wir bringen uns das hauptsächlich immer selber bei (meist zu 3) nach der abgabe der aufgaben erhalten wir in den seminaren informationen dazu und im tutorium wird dann über die lösungen gesprochen :(
ich versuche schon die ganze zeit mich damit vertraut zu machen, lese viele texte, aber alleine ist halt schwer ohne hilfe
trozdem dankeschön... die restlichen aufgaben habe ich schon gelöst! nur halt mit der gruppentheorie komme ich nicht zurecht... ich weiß gar nicht wie ich was anwenden soll...
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> trozdem dankeschön... die restlichen aufgaben habe ich
> schon gelöst! nur halt mit der gruppentheorie komme ich
> nicht zurecht... ich weiß gar nicht wie ich was anwenden
> soll...
Naja, dann beginn doch mit "nichtleer".
Irgendein Element da drin wirst Du doch wohl finden.
Danach nimm Dir zwei Elemente (a), (b) aus U(n), und zeige, daß (a)*(b) auch in U(n) liegt.
Dazu mußt Du wissen, wie mit den Restklassen gerechnet wird, ohne das geht's nicht.
(Daß [mm] (ab)\in [/mm] U(n) hast Du ja sogar in Teil a) gezeigt, sehe ich!)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:31 Di 06.11.2007 | | Autor: | howtoadd |
erstmal vielen dank für die hilfreichen erklärungen und tipps, ich konnte damit die aufgaben lösen.
nun habe ich gesehen, dass man auch die lösungen gerne hier veröffentlichen kann, dass ist mir leider entgangen. aber ich bekomme nächste woche meine lösungen zurück, dann werde ich sie zeigen...
die nr. 1 kann ich aber glaube ich noch aus dem kopf... ich habe für mod 20 eine verknüpfungstabelle erstellt und diese dann ausgerechnet, habe dann mir die zahlen rausgeschrieben, an denen die 1 raus kam:
U (20) = (1,3,7,9,11,13,17,19) so konnte ich dann auch das beispiel in der nr. 1 besser nachvollziehen!
also vieeeelen dank!
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