Induktion 133 ist ein Teiler < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen sie induktiv, dass 133 ein Teiler von [mm] 11^{n+1}+12^{2n-1} [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] ist. |
Ich bins mal wieder^^
IA: n=1
[mm] 11^2 [/mm] + 12 = 133 stimmt.
IV: Behauptung gilt bis n
IS: n -> n+1
also muss 133 ein Teiler von [mm] 11^{n+2}+12^{2n+1} [/mm] sein.
Nun steh ich da und weiß nicht recht weiter.
Ich muss ja irgendwie versuchen die IV einzubauen also den Term
[mm] 11^{n+2}+12^{2n+1} [/mm] in die Form [mm] 11^{n+1}+12^{2n-1} [/mm] mit Rest zu bekommen.
Meine "kläglichen" Überlegungen:
damit 133 ein Teiler ist muss ja [mm] \bruch{11^{n+1}+12^{2n-1}}{133} [/mm] = k sein, wobei k [mm] \in \IN
[/mm]
Also auch [mm] \bruch{11^{n+2}+12^{2n+1}}{133} [/mm] = x mit x [mm] \in \IN
[/mm]
Das bringt mich aber iwie alles nicht weiter.
Vielleicht ist es auch schon zu spät.
Diese Darstellung bringt mich auch nicht weiter oder?:
[mm] 11^{n+2}+12^{2n+1} [/mm] = [mm] 11^{n+1}*11+12^{2n-1}*12²
[/mm]
Vielen Dank im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:09 Di 05.10.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Heatshawk!
> Diese Darstellung bringt mich auch nicht weiter oder?:
>
> [mm]11^{n+2}+12^{2n+1}[/mm] = [mm]11^{n+1}*11+12^{2n-1}*12^2[/mm]
Doch. Formen wir mal etwas um:
[mm]11*11^{n+1}+144*12^{2n-1} \ = \ 11*11^{n+1}+(133+11)*12^{2n-1} \ = \ 11*11^{n+1}+11*12^{2n-1}+133*12^{2n-1}[/mm]
Aus den ersten beiden Summanden kannst Du 11 ausklammern und dann auf die Klammer die Induktionsvoraussetzung anwenden.
Und ist der letzte Summand dann ebenfalls durch 133 teilbar?
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:12 Di 05.10.2010 | | Autor: | Heatshawk |
Ja, so denk ich mir wieder "Warum siehst du das nicht, Idiot"
Siehst du(ihr) sowas sofort? Oder lernt man das? Habe wohl ein wenig Lampenfieber, da es Montag losgeht^^
Aber vielen, vielen Dank.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:14 Di 05.10.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Heatshawk!
Nicht verzeifeln. Das ist halt etwas Übung. Und bei derartigen Teilbarkeitsbeweisen kommt dieser "Trick" des öfteren vor.
Gruß
Loddar
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