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| Aufgabe | Beweisen sie mittels vollständiger Induktion:
Für alle n [mm] \in \IN [/mm] ohne {1} gilt:
[mm] \produkt_{i=2}^{n}e^{\bruch{1}{i (i-1)}} [/mm] = [mm] e^{\bruch{n-1}{n}} [/mm] |
IA: n=2 links steht [mm] e^{0,5} [/mm] und rechts ebenso.
IV: Behauptung gilt bis n
IS: n -> n+1
[mm] \produkt_{i=2}^{n+1}e^{\bruch{1}{i (i-1)}} [/mm] = [mm] e^{\bruch{n}{n+1}}
[/mm]
[mm] \produkt_{i=2}^{n+1}e^{\bruch{1}{i (i-1)}} [/mm] = [mm] \produkt_{i=2}^{n}e^{\bruch{1}{i (i-1)}} [/mm] * [mm] e^{\bruch{1}{(n+1)*n}}
[/mm]
= [mm] e^{\bruch{n-1}{n}} [/mm] * [mm] e^{\bruch{1}{(n+1)*n}}
[/mm]
Also muss [mm] \bruch{n-1}{n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n+1)*n} [/mm] = [mm] \bruch{n}{n+1} [/mm] sein.
[mm] \bruch{n-1}{n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n+1)*n} [/mm] = [mm] \bruch{n-1(n+1)}{n(n+1)} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n+1)*n}
[/mm]
= [mm] \bruch{n²-1+1}{(n+1)*n} [/mm] = [mm] \bruch{n²}{(n+1)*n} [/mm] = [mm] \bruch{n}{(n+1)}
[/mm]
Ist das so richtig?
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Hallo,
> Beweisen sie mittels vollständiger Induktion:
> Für alle n [mm]\in \IN[/mm] ohne {1} gilt:
>
> [mm]\produkt_{i=2}^{n}e^{\bruch{1}{i (i-1)}}[/mm] =
> [mm]e^{\bruch{n-1}{n}}[/mm]
> IA: n=2 links steht [mm]e^{0,5}[/mm] und rechts ebenso.
> IV: Behauptung gilt bis n
> IS: n -> n+1
>
> [mm]\produkt_{i=2}^{n+1}e^{\bruch{1}{i (i-1)}}[/mm] =
> [mm]e^{\bruch{n}{n+1}}[/mm]
>
> [mm]\produkt_{i=2}^{n+1}e^{\bruch{1}{i (i-1)}}[/mm] =
> [mm]\produkt_{i=2}^{n}e^{\bruch{1}{i (i-1)}}[/mm] *
> [mm]e^{\bruch{1}{(n+1)*n}}[/mm]
>
> = [mm]e^{\bruch{n-1}{n}}[/mm] * [mm]e^{\bruch{1}{(n+1)*n}}[/mm]
>
> Also muss [mm]\bruch{n-1}{n}[/mm] + [mm]\bruch{1}{(n+1)*n}[/mm] =
> [mm]\bruch{n}{n+1}[/mm] sein.
>
> [mm]\bruch{n-1}{n}[/mm] + [mm]\bruch{1}{(n+1)*n}[/mm] =
> [mm]\bruch{n-1(n+1)}{n(n+1)}[/mm] + [mm]\bruch{1}{(n+1)*n}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{n^2-1+1}{(n+1)*n}[/mm] = [mm]\bruch{n^2}{(n+1)*n}[/mm] =
> [mm]\bruch{n}{(n+1)}[/mm]
>
> Ist das so richtig?
Ich habe keinen Fehler entdecken können.
Schreibe Potenzzahlen bitte mit ^2. Dann werden sie auch richtig angezeigt.
Gruß Patrick
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:35 Mo 04.10.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Heatshawk!
> = [mm]\bruch{n-1(n+1)}{n(n+1)}[/mm] + [mm]\bruch{1}{(n+1)*n}[/mm]
Hier fehlen im Zähler Klammern. Korrekterweise muss dort stehen:
[mm]\red{(}n-1\red{)}*(n+1)[/mm]
Gruß
Loddar
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